Решения вариантов ЕГЭ по математике
Сайт Павла Коваленко. Решения Ященко 20, 36 вариантов (профиль, ФИПИ). Задания 14,15,16,17,18. Ответы.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость Читать далее …
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём . Найдите площадь сечения MNB. Решение аналогично варианту 4
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём . Найдите площадь сечения MNB. Решение аналогично варианту 4
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 14. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC Читать далее …
На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM:МА =3:4. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение Читать далее …
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N. а) Докажите, что MN и ВО параллельны. б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN,если СN=4 и Читать далее …
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а Читать далее …
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 10 и 12 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности. Решение полностью аналогично варианту 15, посмотрите Читать далее …
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а Читать далее …
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны. а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной Читать далее …
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее …
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее …
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее …
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее …
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее …
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°. а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE. б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, Читать далее …
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 31 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности. Решение аналогично варианту 15, посмотрите решение Читать далее …
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=60°, ∠ABC=45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M,N,P. а) Докажите, что треугольник MNP — прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 10. Решается в точности Читать далее …
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=60°, ∠ABC=45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M,N,P. а) Докажите, что треугольник MNP — прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 6. Решение смотри на Читать далее …
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности. Решается в точности как вариант 15, Читать далее …
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее …
Решается аналогично решению варианта 1, посмотрите решение в варианте 1
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 600 000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо Читать далее …
Детальный разбор с картинками будет на вебинаре. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева 🙂
На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM:МА =1:2. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение Читать далее …
Детальный разбор с картинками будет на вебинаре. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева 🙂
Найти все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. Напишем ОДЗ: Наше ОДЗ — это треугольник между точками : При этом отрезок BC входит в ОДЗ, точки B и С Читать далее …
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо Читать далее …
На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. Читать далее …
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее …
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее …
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее …
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее …
На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный. б) Известно, что . В каком отношении прямая DL делит сторону Читать далее …
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.
Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K Читать далее …
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной Читать далее …
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°. а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE. б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, Читать далее …
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. a) Докажите, что прямые Читать далее …
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда МN большей окружности касается меньшей в точке С.Хорды КМ и КN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно,а отрезки КС и АВ пересекаются Читать далее …