Решение задания 16, вариант 11, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике: 2017, 2018

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
a) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
b) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

Решение похоже на вариант 10.
Точки K и M — середины AB и AC соответственно, т.к. внутренняя окружность проходит через центр внешней и т.к. $\vartriangle AKO \sim \vartriangle ABD$ по двум углам ( $\angle{AKO}= \angle{ABD}=90^{\circ}$ ).
$\Rightarrow KM \parallel BC$ как средняя линия.
Т.к. $KM \parallel BC$ , то дуги PK и PM равны (т.к. $KM \parallel BC$ , то $\angle{BPK}=\angle{PKM}$ как внутренние накрест лежащие).
Т.к. дуги равны, то AP — биссектриса угла CAB, обозначим его за $2\alpha$ .

Т.к. AP — биссектриса, то $\frac{AM}{AK}=\frac{ML}{LK}$

Обозначим $ML=x, LK=k*x, AM=y, AK=k*y$ — по свойству биссектрисы.
Заметим, что $AL*LP=ML*LK$ — по свойству хорд.
Также вспомним формулу длины биссектрисы — $AL^2=AM*AK-ML*LK$ . Обозначим $AL=l$ .
Итак, хорды: