
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
a) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
b) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Решение похоже на вариант 10.
Точки K и M — середины AB и AC соответственно, т.к. внутренняя окружность проходит через центр внешней и т.к. по двум углам (
).
как средняя линия.
Т.к. , то дуги PK и PM равны (т.к.
, то
как внутренние накрест лежащие).
Т.к. дуги равны, то AP — биссектриса угла CAB, обозначим его за .
Т.к. AP — биссектриса, то
Обозначим — по свойству биссектрисы.
Заметим, что — по свойству хорд.
Также вспомним формулу длины биссектрисы — . Обозначим
.
Итак, хорды:
и формула длины биссектрисы:
.
Получаем
Запишем теорему синусов для :
Напишем теорему косинусов для :
Подставим и значение
:
Это квадратное уравнение относительно , решаем его:
Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Приходи на мой новый (2019) бесплатный тренинг-вебинар
по решению 12х,13х,14х,15х,16х,17х,18х задач:
"7 шагов скоростной подготовки к ЕГЭ по математике. "
Записаться бесплатный на тренинг. Заходи!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru


