Решение задания 18, вариант 11, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Найти все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{Bmatrix} {2x-2y-2=|x^2+y^2-1|} \\{y=a(x-1)} \end{matrix}$

имеет более двух решений.

Раскроем модуль:

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {2x - 2y - 2 - (x^2+ y^2- 1) = 0} \\{x^2+y^2 \ge 1} \\{y=a(x-1)} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {2x - 2y - 2 + (x^2+ y^2- 1) = 0} \\{x^2+y^2 < 1} \\{y=a(x-1)} \end{matrix} } \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {(x-1)^2+(y+1)^2=1} \\{x^2+y^2 \ge 1} \\{y=a(x-1)} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {(x+1)^2+(y-1)^2=5} \\{x^2+y^2 < 1} \\{y=a(x-1)} \end{matrix} } \end{matrix}$

Чтобы найти значение $a$ , при котором прямая $a(x-1)$ касается левой верхней окружности $(x+1)^2+(y-1)^2=5$ , надо подставить прямую в окружность:

$(x+1)^2+(a*(x-1)-1)^2=5$

$a^{2} \; x^{2} - 2 \; a^{2} \; x + a^{2} - 2 \; a \; x + 2 \; a + x^{2} + 2 \; x + 2 = 5$

$x^{2} \; \left(a^{2} + 1 \right) + x \; \left(-2 \; a^{2} - 2 \; a + 2 \right) + a^{2} + 2 \; a - 3 = 0$

При касании — только один корень, значит $D=0$ :

$D=(-2a^2-2a+2)^2-4(a^2+1)(a^2+2a-3)=0$

$4 \; a^{2} - 16 \; a + 16 = 0$

$a=2$

Можно было найти $a$ и другим, более простым, способом — заметить, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания $(1;0)$ из центра окружности — точки $(-1;1)$ . Радиус имеет тангенс угол наклона $-\frac{1}{2}$ . Вспомним, что произведение коэффициентов перпендикулярных прямых $=-1$ , значит:

$a*(-\frac{1}{2})=-1$

$a=2$

Ответ: $a \in (1;2)$ .

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru