Решение задания 18, вариант 10, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Найти все $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{Bmatrix} {x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|} \\{x+2y=a} \end{matrix}$

имеет более двух решений.

Раскроем модуль:

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2-8x+y^2+4y+15=4(2x-y-10)} \\{2x-y-10 \ge 0} \\{x+2y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x^2-8x+y^2+4y+15=-4(2x-y-10)} \\{2x-y-10 < 0} \\{x+2y=a} \end{matrix} } \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { x^{2} + y^{2} - 16 \; x + 8 \; y + 55 = 0} \\{y \le 2x-10 } \\{y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { x^{2} + y^{2} - 25 = 0} \\{y > 2x-10} \\{y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}} \end{matrix} } \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { (x-8)^2+(y+4)^2 = 25} \\{y \le 2x-10 } \\{y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { x^{2} + y^{2} = 25} \\{y > 2x-10} \\{y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}} \end{matrix} } \end{matrix}$

Чтобы найти координаты точек касания $A$ и $G$ , заметим, что прямая $AG$ должна проходить параллельно прямой $2x-10$ и через центр окружности $(0;0)$ , а значит $A$ и $G$ должны лежать на прямой $y=2x$ . Подставим $2x$ вместо $y$ в уравнение окружности и получим:

$x^{2} + (2x)^{2} - 25 = 0$

$5x^2=25$

$x=\pm\sqrt{5}$

Т.е. точка $A$ имеет координаты $(\sqrt{5}; 2\sqrt{5})$ , точка $G(-\sqrt{5}; -2\sqrt{5})$ . Через точки $A$ и $G$ должна проходить прямая $y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}$ , отсюда получаем:

$2\sqrt{5} = \frac{a}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$

$a=5\sqrt{5}$

$-2\sqrt{5} = \frac{a}{2}-\frac{-\sqrt{5}}{2}$

$a=-5\sqrt{5}$

Другой способ нахождения этих значений $a$ — подставить прямую $y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}$ в уравнение окружности $x^{2} + y^{2} - 25 = 0$ . Получим:

$x^{2} + (\frac{a}{2}-\frac{x}{2})^{2} - 25 = 0$

$\frac{5}{4} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; a \; x +\frac{1}{4} \; a^{2} - 25 =0$

У этого уравнения один корень, когда прямая и окружность касаются, два корня — когда они пересекаются, нет корней — когда они не пересекаются. Нам нужно касание, т.е. мы ищем один корень — когда дискриминант равен нулю:

$D= \frac{a^2}{4} - 4*\frac54*(\frac14*a^2-25)=0$

$a^2=125$

$\left\{ a = \pm 5 \; \sqrt{5} \right\}$

Значения $a=\pm5$ очевидны — прямые должны проходить через точки $(5;0)$ и $(-5;0)$ .

В силу симметрии параметра $a$ относительно нуля, получаем
Ответ: $a \in (-5\sqrt{5};-5] \cup [5;5\sqrt{5})$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru