Решение задания 18, вариант 9, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых множество значений функции

    \[y= \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2}\]

содержит отрезок [2;3]

Заметим, что, так как a находится под корнем, то a\ge -1.
При таких значениях a знаменатель \sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2 оказывается строго больше нуля всегда, при любом x, а значит наша дробь y не имеет вертикальных асимптот и не имеет разрывов, т.е. полностью непрерывна при всех x, т.к. не происходит деления на ноль.
Также отметим, что она имеет вид \frac{ax+b}{cx^2+dx+e} относительно косинуса — а функции такого вида при положительном знаменателе имеют непрерывный график, асимптотически стремящийся к нулю в минус и плюс бесконечности. При этом множеством ее значений будет некоторый отрезок.
Фраза «множество значений функции содержит отрезок [2;3]» означает, что уравнения y(x)=2 и y(x)=3 одновременно (при одних и тех же a) имеют решения.
Т.е наша цель — найти все a, при которых

    \[y= \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2}=2\]

и

    \[y= \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2}=3\]

имеют решения одновременно, при одних и тех же a.

Пусть t=\cos{3x}. Решим первое уравнение:

    \[\frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} = 2\]

Домножим на знаменатель (он положителен при любом t из отрезка [-1,1] и любом a \ge -1)

    \[\sqrt{a+1}-2t+1 = 2*( 1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2)\]

    \[\sqrt{a+1}-2t+1 = 2*( 3-t^2+a+2\sqrt{a+1})\]

    \[\sqrt{a+1}-2t+1 = 6-2t^2+2a+4\sqrt{a+1}\]

    \[2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a = 0\]

Нам нужно, чтобы существовал хотя бы один корень на отрезке t \in [-1;1].
Это выполняется, если:

    \[\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D\ge 0}\\{-1 \le t_{vershini} \le 1} \\{f(1)\ge 0}\\{f(-1)\ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)\le 0}\\{f(1)\ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)\ge 0}\\{f(1)\le 0} \end{matrix} } \end{matrix}\]

где f(t)= 2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a

    \[D=4-4*2*(- 3\sqrt{a+1} - 5 -2a)=4(1+2*(3\sqrt{a+1} + 5 +2a))\]

    \[D=4(11+6\sqrt{a+1} +4a)\]

    \[t_{vershini} =-\frac{-2}{2*2}=0.5\]

    \[\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D=4*(11+6\sqrt{a+1} +4a)\ge 0} \\{-1 \le t_{vershini}=-\frac{-2}{2*2}=0.5 \le 1} \\{f(1)=2*1^{2} - 2*1 - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \ge 0} \\{f(-1)=2(-1)^{2} - 2(-1) - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)=2(-1)^{2} - 2(-1) - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a\le 0} \\{f(1)=2*1^{2} - 2*1 - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)=2(-1)^{2} - 2(-1) - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a\ge 0} \\{f(1)=2*1^{2} - 2*1 - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a\le 0} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Выражение \frac{D}{4}=11+6\sqrt{a+1} +4a на ОДЗ пробегает значения больше 7, заведомо больше 0

    \[\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{true} \\{true} \\{f(1)=-3\sqrt{a+1} -5 -2a \ge 0} \\{f(-1)=- 3\sqrt{a+1} -1 -2a \ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a\le 0} \\{f(1)= - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a\ge 0} \\{f(1)= - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a\le 0} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Выражение f(1)= - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a на ОДЗ всегда отрицательно.

Решим f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a \ge 0:

    \[3\sqrt{a+1} \le -1-2a\]

    \[{\begin{Bmatrix} { 9*(a+1) \le (-1-2a)^2 } \\{-1-2a \ge 0} \end{matrix}}\]

    \[{\begin{Bmatrix} { 4a^2-5a-8 \ge 0 } \\{ a \le -\frac12} \end{matrix} }\]

    \[{\begin{Bmatrix} { a \le \frac{5-3\sqrt{17}}{8} \cup a \ge \frac{5+3\sqrt{17}}{8} } \\{ a \le -\frac12} \end{matrix} }\]

Итого, f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a \ge 0 , когда

    \[a \le \frac{5-3\sqrt{17}}{8}\]

Решим f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a \le 0:

    \[3\sqrt{a+1} \ge -1-2a\]

    \[{\begin{Bmatrix} { 9*(a+1) \ge (-1-2a)^2 } \\{-1-2a \ge 0} \end{matrix}}\]

    \[{\begin{Bmatrix} { 4a^2-5a-8 \le 0 } \\{ a \le -\frac12} \end{matrix} }\]

    \[{\begin{Bmatrix} { \frac{5-3\sqrt{17}}{8} \le a \le \frac{5+3\sqrt{17}}{8} } \\{ a \le -\frac12} \end{matrix} }\]

Итого, f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a \le 0 , когда

    \[\frac{5-3\sqrt{17}}{8} \le a \le -\frac12\]

Итак, соберем все вместе:

    \[\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D \ge 0: true} \\{ -1 \le t_{vershini}=0.5 \le 1 : true} \\{f(1) \ge 0 : false} \\{f(-1)\ge 0: a \le \frac{5-3\sqrt{17}}{8} } \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1) \le 0: \frac{5-3\sqrt{17}}{8} \le a \le -\frac12} \\{f(1) \ge 0 : false } \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1) \ge 0: a \le \frac{5-3\sqrt{17}}{8} } \\{f(1) \le 0 : true } \end{matrix} } \end{matrix}\]

Заметим, что во второй системе f(-1)\le 0 можно было не считать и сэкономить на этом время — так как во второй системе уже есть false, то и вся вторая система — false, не имеет решений.
Пересекая с ОДЗ a \ge -1, получаем ответ этой системы (первое уравнение = 2):

    \[a \in [-1; \frac{5-3\sqrt{17}}{8} ]\]

————————————————-

Решим второе уравнение:

    \[\frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} = 3\]

Домножим на знаменатель (он положителен при любом t из отрезка [-1,1] и любом a \ge -1)

    \[\sqrt{a+1}-2t+1 = 3*( 1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2)\]

    \[\sqrt{a+1}-2t+1 = 3*( 3-t^2+a+2\sqrt{a+1})\]

    \[\sqrt{a+1}-2t+1 = 9-3t^2+3a+6\sqrt{a+1}\]

    \[3t^{2} - 2t - 5\sqrt{a+1} - 8 -3a = 0\]

Нам нужно, чтобы существовал хотя бы один корень на отрезке t \in [-1;1].
Это выполняется, если:

    \[\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D\ge 0}\\{-1 \le t_{vershini} \le 1} \\{f(1)\ge 0}\\{f(-1)\ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)\le 0}\\{f(1)\ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)\ge 0}\\{f(1)\le 0} \end{matrix} } \end{matrix}\]

где f(t)= 3t^{2} - 2t - 5\sqrt{a+1} - 8 -3a

    \[D=4-4*3*(- 5\sqrt{a+1} - 8 -3a)=4(1+3*(5\sqrt{a+1} + 8 +3a))\]

    \[D=4(25+15\sqrt{a+1} +9a)\]

    \[t_{vershini} =-\frac{-2}{2*3}=\frac13\]

Мы видим, что дискриминант положителен при любом a на ОДЗ, и вершина также попадает в диапазон [-1;1]
f(1) =3*1^{2} - 2*1 - 5\sqrt{a+1} - 8 -3a =-7 -3a - 5\sqrt{a+1}
f(-1)=3*(-1)^{2} - 2*(-1) - 5\sqrt{a+1} - 8 -3a=-3 -3a - 5\sqrt{a+1}

Решим f(1)\ge 0:

    \[f(1) =-7 -3a - 5\sqrt{a+1} \ge 0\]

    \[-7-3a \ge 5\sqrt{a+1}\]

Рассмотрим два случая: -7-3a \ge 0 и -7-3a < 0.
Если -7-3a < 0, то у нас получается отрицательное число больше или равно неотрицательного, что неверно ( когда справа 0, слева — не ноль), т.е. этот случай для нас false.
Если -7-3a \ge 0, то есть когда a<-\frac73, то это не проходит проверку по ОДЗ (a\ge -1), и этот случай тоже для нас false, возводить в квадрат обе стороны даже необязательно.
Итого f(1) \ge 0: нет решений.

Решим f(1)\le 0:

    \[f(1) =-7 -3a - 5\sqrt{a+1} \le 0\]

    \[-7-3a \le 5\sqrt{a+1}\]

Рассмотрим два случая: -7-3a \ge 0 и -7-3a < 0.
Если -7-3a < 0, то у нас получается отрицательное число меньше или равно неотрицательного, что верно всегда. Итак -7-3a < 0, a> -\frac73. Пересекаем с ОДЗ, получаем a\ge -1
Если -7-3a \ge 0, то есть когда a<-\frac73, то это не проходит проверку по ОДЗ (a\ge -1), и этот случай тоже для нас false, возводить в квадрат обе стороны даже необязательно.
Итого f(1) \le 0: a \ge -1

Решим f(-1)\ge 0:

    \[f(-1)=-3 -3a - 5\sqrt{a+1} \ge 0\]

    \[-3-3a \ge 5\sqrt{a+1}\]

Рассмотрим два случая: -3-3a \ge 0 и -3-3a < 0.
Если -3-3a < 0, a>-1, то у нас получается отрицательное число больше или равно неотрицательного, что в целом неверно, верно только когда они оба равны нулю, т.е. при a=-1. Но у нас случай a>-1, получаем false.
Если -3-3a \ge 0, то есть когда a \le -1, то это не проходит проверку по ОДЗ (a\ge -1), кроме точки a=-1 . Подставим a=-1 в уравнение -3-3(-1) \ge 5\sqrt{-1+1}, получим true.
Итого f(-1) \ge 0: a=-1

Решим f(-1)\le 0:

    \[f(-1)=-3 -3a - 5\sqrt{a+1} \le 0\]

    \[-3-3a \le 5\sqrt{a+1}\]

Рассмотрим два случая: -3-3a \ge 0 и -3-3a < 0.
Если -3-3a < 0, a>-1, то у нас получается отрицательное число меньше или равно неотрицательного, что верно всегда. Пересекаем с ОДЗ, получаем a>-1.

Если -3-3a \ge 0, то есть когда a \le -1, то это не проходит проверку по ОДЗ (a\ge -1), кроме точки a=-1 . Подставим a=-1 в уравнение -3-3(-1) \le 5\sqrt{-1+1}, получим true.
Итого f(-1) \le 0: a \ge -1

Соберем теперь все вместе:

    \[\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D\ge 0 ; true }\\{-1 \le t_{vershini} \le 1;  true} \\{f(1)\ge 0 ; false}\\{f(-1)\ge 0 ; a=-1} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)\le 0; a \ge -1}\\{f(1)\ge 0 ; false} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)\ge 0 ; a=-1}\\{f(1)\le 0;  a \ge -1} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Итого у второго уравнения \frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} = 3 ответ

    \[a=-1\]

.
Для ответа в нашей задаче нам нужно пересечь решения первого и второго уравнений a \in [-1; \frac{5-3\sqrt{17}}{8} ] и a=-1 .
Ответ: a=-1.
————————————-=============
—————————————

Другое решение (чуть-чуть более сложное объяснение)
Фраза «множество значений функции содержит отрезок [2;3]» означает, что найдется хотя бы один такой x_1 при котором y(x_1)\le 2, и найдется хотя бы один такой x_2 при котором y(x_2)\ge 3
Решим эти неравенства:

(1)   \begin{equation*} \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2} \le 2 \end{equation*}

и

(2)   \begin{equation*} \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2} \ge 3 \end{equation*}

Пусть t=\cos{3x}. Решаем первое неравенство:

    \[\frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} \le 2\]

Домножим на знаменатель (он положителен при любом t из отрезка [-1,1] и любом a \ge -1)

    \[\sqrt{a+1}-2t+1 \le 2*( 1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2)\]

    \[2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \le 0\]

Нам нужно, чтобы нашлось хотя бы одно t_1 из отрезка [-1,1], при котором это было бы верно.
Это выполняется, если:

    \[\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D\ge 0}\\{-1 \le t_{vershini} \le 1} \\{f(1)\ge 0}\\{f(-1)\ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)\le 0}\\{f(1)\ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)\ge 0}\\{f(1)\le 0} \end{matrix} } \end{matrix}\]

где f(t)= 2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a
ну и дальше все то же самое, что разобрано выше.



Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.