Решение задания 18, вариант 9, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Найти все значения a, при каждом из которых множество значений функции

$y= \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2}$

содержит отрезок $[2;3]$

Заметим, что, так как $a$ находится под корнем, то $a\ge -1$ .
При таких значениях $a$ знаменатель $\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2$ оказывается строго больше нуля всегда, при любом $x$ , а значит наша дробь $y$ не имеет вертикальных асимптот и не имеет разрывов, т.е. полностью непрерывна при всех $x$ , т.к. не происходит деления на ноль.
Также отметим, что она имеет вид $\frac{ax+b}{cx^2+dx+e}$ относительно косинуса — а функции такого вида при положительном знаменателе имеют непрерывный график, асимптотически стремящийся к нулю в минус и плюс бесконечности. При этом множеством ее значений будет некоторый отрезок.
Фраза «множество значений функции содержит отрезок $[2;3]$ » означает, что уравнения $y(x)=2$ и $y(x)=3$ одновременно (при одних и тех же $a$ ) имеют решения.
Т.е наша цель — найти все $a$ , при которых

$y= \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2}=2$

$y= \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2}=3$

имеют решения одновременно, при одних и тех же $a$ .

Пусть $t=\cos{3x}$ . Решим первое уравнение:

$\frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} = 2$

Домножим на знаменатель (он положителен при любом $t$ из отрезка $[-1,1]$ и любом $a \ge -1$ )

$\sqrt{a+1}-2t+1 = 2*( 1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2)$

$\sqrt{a+1}-2t+1 = 2*( 3-t^2+a+2\sqrt{a+1})$

$\sqrt{a+1}-2t+1 = 6-2t^2+2a+4\sqrt{a+1}$

$2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a = 0$

Нам нужно, чтобы существовал хотя бы один корень на отрезке $t \in [-1;1]$ .
Это выполняется, если:

$\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D\ge 0}\\{-1 \le t_{vershini} \le 1} \\{f(1)\ge 0}\\{f(-1)\ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)\le 0}\\{f(1)\ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)\ge 0}\\{f(1)\le 0} \end{matrix} } \end{matrix}$

где $f(t)= 2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a$

$D=4-4*2*(- 3\sqrt{a+1} - 5 -2a)=4(1+2*(3\sqrt{a+1} + 5 +2a))$

$D=4(11+6\sqrt{a+1} +4a)$

$t_{vershini} =-\frac{-2}{2*2}=0.5$

$\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D=4*(11+6\sqrt{a+1} +4a)\ge 0} \\{-1 \le t_{vershini}=-\frac{-2}{2*2}=0.5 \le 1} \\{f(1)=2*1^{2} - 2*1 - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \ge 0} \\{f(-1)=2(-1)^{2} - 2(-1) - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)=2(-1)^{2} - 2(-1) - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a\le 0} \\{f(1)=2*1^{2} - 2*1 - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)=2(-1)^{2} - 2(-1) - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a\ge 0} \\{f(1)=2*1^{2} - 2*1 - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a\le 0} \end{matrix} } \end{matrix}$

Выражение $\frac{D}{4}=11+6\sqrt{a+1} +4a$ на ОДЗ пробегает значения больше 7, заведомо больше 0

$\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{true} \\{true} \\{f(1)=-3\sqrt{a+1} -5 -2a \ge 0} \\{f(-1)=- 3\sqrt{a+1} -1 -2a \ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a\le 0} \\{f(1)= - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \ge 0} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a\ge 0} \\{f(1)= - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a\le 0} \end{matrix} } \end{matrix}$

Выражение $f(1)= - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a$ на ОДЗ всегда отрицательно.

Решим $f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a \ge 0$ :

$3\sqrt{a+1} \le -1-2a$

${\begin{Bmatrix} { 9*(a+1) \le (-1-2a)^2 } \\{-1-2a \ge 0} \end{matrix}}$

${\begin{Bmatrix} { 4a^2-5a-8 \ge 0 } \\{ a \le -\frac12} \end{matrix} }$

${\begin{Bmatrix} { a \le \frac{5-3\sqrt{17}}{8} \cup a \ge \frac{5+3\sqrt{17}}{8} } \\{ a \le -\frac12} \end{matrix} }$

Итого, $f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a \ge 0$ , когда

$a \le \frac{5-3\sqrt{17}}{8}$

Решим $f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a \le 0$ :

$3\sqrt{a+1} \ge -1-2a$

${\begin{Bmatrix} { 9*(a+1) \ge (-1-2a)^2 } \\{-1-2a \ge 0} \end{matrix}}$

${\begin{Bmatrix} { 4a^2-5a-8 \le 0 } \\{ a \le -\frac12} \end{matrix} }$

${\begin{Bmatrix} { \frac{5-3\sqrt{17}}{8} \le a \le \frac{5+3\sqrt{17}}{8} } \\{ a \le -\frac12} \end{matrix} }$

Итого, $f(-1)= - 3\sqrt{a+1} - 1 -2a \le 0$ , когда

$\frac{5-3\sqrt{17}}{8} \le a \le -\frac12$

Итак, соберем все вместе:

$\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D \ge 0: true} \\{ -1 \le t_{vershini}=0.5 \le 1 : true} \\{f(1) \ge 0 : false} \\{f(-1)\ge 0: a \le \frac{5-3\sqrt{17}}{8} } \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1) \le 0: \frac{5-3\sqrt{17}}{8} \le a \le -\frac12} \\{f(1) \ge 0 : false } \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1) \ge 0: a \le \frac{5-3\sqrt{17}}{8} } \\{f(1) \le 0 : true } \end{matrix} } \end{matrix}$

Заметим, что во второй системе $f(-1)\le 0$ можно было не считать и сэкономить на этом время — так как во второй системе уже есть $false$ , то и вся вторая система — $false$ , не имеет решений.
Пересекая с ОДЗ $a \ge -1$ , получаем ответ этой системы (первое уравнение = 2):

$a \in [-1; \frac{5-3\sqrt{17}}{8} ]$

————————————————-

Решим второе уравнение:

$\frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} = 3$

Домножим на знаменатель (он положителен при любом $t$ из отрезка $[-1,1]$ и любом $a \ge -1$ )

$\sqrt{a+1}-2t+1 = 3*( 1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2)$

$\sqrt{a+1}-2t+1 = 3*( 3-t^2+a+2\sqrt{a+1})$

$\sqrt{a+1}-2t+1 = 9-3t^2+3a+6\sqrt{a+1}$

$3t^{2} - 2t - 5\sqrt{a+1} - 8 -3a = 0$

Нам нужно, чтобы существовал хотя бы один корень на отрезке $t \in [-1;1]$ .
Это выполняется, если:

где $f(t)= 3t^{2} - 2t - 5\sqrt{a+1} - 8 -3a$

$D=4-4*3*(- 5\sqrt{a+1} - 8 -3a)=4(1+3*(5\sqrt{a+1} + 8 +3a))$

$D=4(25+15\sqrt{a+1} +9a)$

$t_{vershini} =-\frac{-2}{2*3}=\frac13$

Мы видим, что дискриминант положителен при любом $a$ на ОДЗ, и вершина также попадает в диапазон $[-1;1]$
$f(1) =3*1^{2} - 2*1 - 5\sqrt{a+1} - 8 -3a =-7 -3a - 5\sqrt{a+1}$
$f(-1)=3*(-1)^{2} - 2*(-1) - 5\sqrt{a+1} - 8 -3a=-3 -3a - 5\sqrt{a+1}$

Решим $f(1)\ge 0$ :

$f(1) =-7 -3a - 5\sqrt{a+1} \ge 0$

$-7-3a \ge 5\sqrt{a+1}$

Рассмотрим два случая: $-7-3a \ge 0$ и $-7-3a < 0$ .
Если $-7-3a < 0$ , то у нас получается отрицательное число больше или равно неотрицательного, что неверно ( когда справа 0, слева — не ноль), т.е. этот случай для нас $false$ .
Если $-7-3a \ge 0$ , то есть когда $a<-\frac73$ , то это не проходит проверку по ОДЗ ( $a\ge -1$ ), и этот случай тоже для нас $false$ , возводить в квадрат обе стороны даже необязательно.
Итого $f(1) \ge 0$ : нет решений.

Решим $f(1)\le 0$ :

$f(1) =-7 -3a - 5\sqrt{a+1} \le 0$

$-7-3a \le 5\sqrt{a+1}$

Рассмотрим два случая: $-7-3a \ge 0$ и $-7-3a < 0$ .
Если $-7-3a < 0$ , то у нас получается отрицательное число меньше или равно неотрицательного, что верно всегда. Итак $-7-3a < 0$ , $a> -\frac73$ . Пересекаем с ОДЗ, получаем $a\ge -1$
Если $-7-3a \ge 0$ , то есть когда $a<-\frac73$ , то это не проходит проверку по ОДЗ ( $a\ge -1$ ), и этот случай тоже для нас $false$ , возводить в квадрат обе стороны даже необязательно.
Итого $f(1) \le 0$ : $a \ge -1$

Решим $f(-1)\ge 0$ :

$f(-1)=-3 -3a - 5\sqrt{a+1} \ge 0$

$-3-3a \ge 5\sqrt{a+1}$

Рассмотрим два случая: $-3-3a \ge 0$ и $-3-3a < 0$ .
Если $-3-3a < 0$ , $a>-1$ , то у нас получается отрицательное число больше или равно неотрицательного, что в целом неверно, верно только когда они оба равны нулю, т.е. при $a=-1$ . Но у нас случай $a>-1$ , получаем $false$ .
Если $-3-3a \ge 0$ , то есть когда $a \le -1$ , то это не проходит проверку по ОДЗ ( $a\ge -1$ ), кроме точки $a=-1$ . Подставим $a=-1$ в уравнение $-3-3(-1) \ge 5\sqrt{-1+1}$ , получим $true$ .
Итого $f(-1) \ge 0$ : $a=-1$

Решим $f(-1)\le 0$ :

$f(-1)=-3 -3a - 5\sqrt{a+1} \le 0$

$-3-3a \le 5\sqrt{a+1}$

Рассмотрим два случая: $-3-3a \ge 0$ и $-3-3a < 0$ .
Если $-3-3a < 0$ , $a>-1$ , то у нас получается отрицательное число меньше или равно неотрицательного, что верно всегда. Пересекаем с ОДЗ, получаем $a>-1$ .

Если $-3-3a \ge 0$ , то есть когда $a \le -1$ , то это не проходит проверку по ОДЗ ( $a\ge -1$ ), кроме точки $a=-1$ . Подставим $a=-1$ в уравнение $-3-3(-1) \le 5\sqrt{-1+1}$ , получим $true$ .
Итого $f(-1) \le 0$ : $a \ge -1$

Соберем теперь все вместе:

$\begin{bmatrix} {\begin{Bmatrix}{D\ge 0 ; true }\\{-1 \le t_{vershini} \le 1; true} \\{f(1)\ge 0 ; false}\\{f(-1)\ge 0 ; a=-1} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix} {f(-1)\le 0; a \ge -1}\\{f(1)\ge 0 ; false} \end{matrix} } \\ {\begin{Bmatrix}{f(-1)\ge 0 ; a=-1}\\{f(1)\le 0; a \ge -1} \end{matrix} } \end{matrix}$

Итого у второго уравнения $\frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} = 3$ ответ

$a=-1$

.
Для ответа в нашей задаче нам нужно пересечь решения первого и второго уравнений $a \in [-1; \frac{5-3\sqrt{17}}{8} ]$ и $a=-1$ .
Ответ: $a=-1$ .
————————————-=============
—————————————

Другое решение (чуть-чуть более сложное объяснение)
Фраза «множество значений функции содержит отрезок $[2;3]$ » означает, что найдется хотя бы один такой $x_1$ при котором $y(x_1)\le 2$ , и найдется хотя бы один такой $x_2$ при котором $y(x_2)\ge 3$
Решим эти неравенства:

(1) $\begin{equation*} \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2} \le 2 \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2} \ge 3 \end{equation*}$

Пусть $t=\cos{3x}$ . Решаем первое неравенство:

$\frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} \le 2$

Домножим на знаменатель (он положителен при любом $t$ из отрезка $[-1,1]$ и любом $a \ge -1$ )

$\sqrt{a+1}-2t+1 \le 2*( 1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2)$

$2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a \le 0$

Нам нужно, чтобы нашлось хотя бы одно $t_1$ из отрезка $[-1,1]$ , при котором это было бы верно.
Это выполняется, если:

где $f(t)= 2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a$
ну и дальше все то же самое, что разобрано выше.

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru