Найти все значения a, при каждом из которых множество значений функции
содержит отрезок
Заметим, что, так как находится под корнем, то
.
При таких значениях знаменатель
оказывается строго больше нуля всегда, при любом
, а значит наша дробь
не имеет вертикальных асимптот и не имеет разрывов, т.е. полностью непрерывна при всех
, т.к. не происходит деления на ноль.
Также отметим, что она имеет вид относительно косинуса — а функции такого вида при положительном знаменателе имеют непрерывный график, асимптотически стремящийся к нулю в минус и плюс бесконечности. При этом множеством ее значений будет некоторый отрезок.
Фраза «множество значений функции содержит отрезок » означает, что уравнения
и
одновременно (при одних и тех же
) имеют решения.
Т.е наша цель — найти все , при которых
и
имеют решения одновременно, при одних и тех же .
Пусть . Решим первое уравнение:
Домножим на знаменатель (он положителен при любом из отрезка
и любом
)
Нам нужно, чтобы существовал хотя бы один корень на отрезке .
Это выполняется, если:
где
Выражение на ОДЗ пробегает значения больше 7, заведомо больше 0
Выражение на ОДЗ всегда отрицательно.
Решим :
Итого, , когда
Решим :
Итого, , когда
Итак, соберем все вместе:
Заметим, что во второй системе можно было не считать и сэкономить на этом время — так как во второй системе уже есть
, то и вся вторая система —
, не имеет решений.
Пересекая с ОДЗ , получаем ответ этой системы (первое уравнение = 2):
————————————————-
Решим второе уравнение:
Домножим на знаменатель (он положителен при любом из отрезка
и любом
)
Нам нужно, чтобы существовал хотя бы один корень на отрезке .
Это выполняется, если:
где
Мы видим, что дискриминант положителен при любом на ОДЗ, и вершина также попадает в диапазон
Решим :
Рассмотрим два случая: и
.
Если , то у нас получается отрицательное число больше или равно неотрицательного, что неверно ( когда справа 0, слева — не ноль), т.е. этот случай для нас
.
Если , то есть когда
, то это не проходит проверку по ОДЗ (
), и этот случай тоже для нас
, возводить в квадрат обе стороны даже необязательно.
Итого : нет решений.
Решим :
Рассмотрим два случая: и
.
Если , то у нас получается отрицательное число меньше или равно неотрицательного, что верно всегда. Итак
,
. Пересекаем с ОДЗ, получаем
Если , то есть когда
, то это не проходит проверку по ОДЗ (
), и этот случай тоже для нас
, возводить в квадрат обе стороны даже необязательно.
Итого :
Решим :
Рассмотрим два случая: и
.
Если ,
, то у нас получается отрицательное число больше или равно неотрицательного, что в целом неверно, верно только когда они оба равны нулю, т.е. при
. Но у нас случай
, получаем
.
Если , то есть когда
, то это не проходит проверку по ОДЗ (
), кроме точки
. Подставим
в уравнение
, получим
.
Итого :
Решим :
Рассмотрим два случая: и
.
Если ,
, то у нас получается отрицательное число меньше или равно неотрицательного, что верно всегда. Пересекаем с ОДЗ, получаем
.
Если , то есть когда
, то это не проходит проверку по ОДЗ (
), кроме точки
. Подставим
в уравнение
, получим
.
Итого :
Соберем теперь все вместе:
Итого у второго уравнения ответ
.
Для ответа в нашей задаче нам нужно пересечь решения первого и второго уравнений и
.
Ответ: .
————————————-=============
—————————————
Другое решение (чуть-чуть более сложное объяснение)
Фраза «множество значений функции содержит отрезок » означает, что найдется хотя бы один такой
при котором
, и найдется хотя бы один такой
при котором
Решим эти неравенства:
(1)
(2)
Пусть . Решаем первое неравенство:
Домножим на знаменатель (он положителен при любом из отрезка
и любом
)
Нам нужно, чтобы нашлось хотя бы одно из отрезка
, при котором это было бы верно.
Это выполняется, если:
где
ну и дальше все то же самое, что разобрано выше.
Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров
Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru


