Реальный ЕГЭ 26го июня 2018, задание 14

В правильной 4х-угольной пирамиде SABCD AQ:QB=1:2, P-середина AS
a) Докажите, что плоскость (DPQ) перпендикулярна плоскости основания
b) Найдите площадь сечения DPQ если площадь DSB=6

Проведем диагональ CA, поделим ее на 4 равные части. Возьмем на диагонали три равных отрезка GO=OF=FA. Возьмем на стороне AB три равных отрезка BE=EQ=QA. Очевидно, из подобия соответствующих треугольников, или по обратной т. Фалеса, прямые GB \parallel OE \parallel FQ
Итак, т. F оказалась серединой OA. Соединим точки P и F. Т.к. F — середина OA, а P — середина SA, то SO \parallel PF. Но т.к. пирамида правильная, то SO \perp (ABC), значит и PF \perp (ABC).
Получается, что наша плоскость (DPQ), которая, очевидно, содержит в себе отрезок PF, проходит через перпендикуляр PF к плоскости основания. Тогда, очевидно, что плоскости (DPQ) и основания (ABC) — перпендикулярны.

Найдем, во сколько раз отличаются площади треугольников DSB=6 и DPQ. Их высоты SO и PQ отличаются в 2 раза.
Найдем, во сколько раз отличаются их основания DB и DQ. Пусть AQ=x, тогда DB=3x\sqrt{2}, а DQ=\sqrt{x^2+(3x)^2}=x\sqrt{10}
Тогда отношение

    \[\frac{DB}{DQ}=\frac{3x\sqrt{2}}{x\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\]

Тогда искомое отношение площадей

    \[\frac{S(DSB)}{S(DPQ)}=2*\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\]

и площадь треугольника DPQ=\sqrt{5}



Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Приходи на бесплатный вебинар
по разбору задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.