Решение задания 18, вариант 11, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

    \[\begin{Bmatrix} {2x-2y-2=|x^2+y^2-1|} \\{y=a(x-1)} \end{matrix}\]

имеет более двух решений.

Раскроем модуль:

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {2x - 2y - 2 - (x^2+ y^2- 1) = 0} \\{x^2+y^2 \ge 1} \\{y=a(x-1)} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {2x - 2y - 2 + (x^2+ y^2- 1) = 0} \\{x^2+y^2 < 1} \\{y=a(x-1)} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {(x-1)^2+(y+1)^2=1} \\{x^2+y^2 \ge 1} \\{y=a(x-1)} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {(x+1)^2+(y-1)^2=5} \\{x^2+y^2 < 1} \\{y=a(x-1)} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Чтобы найти значение a, при котором прямая a(x-1) касается левой верхней окружности (x+1)^2+(y-1)^2=5, надо подставить прямую в окружность:

    \[(x+1)^2+(a*(x-1)-1)^2=5\]

    \[a^{2} \; x^{2} - 2 \; a^{2} \; x + a^{2} - 2 \; a \; x + 2 \; a + x^{2} + 2 \; x + 2 = 5\]

    \[x^{2} \;  \left(a^{2} + 1 \right) + x \;  \left(-2 \; a^{2} - 2 \; a + 2 \right) + a^{2} + 2 \; a - 3 = 0\]

При касании — только один корень, значит D=0:

    \[D=(-2a^2-2a+2)^2-4(a^2+1)(a^2+2a-3)=0\]

    \[4 \; a^{2} - 16 \; a + 16 = 0\]

    \[a=2\]

Можно было найти a и другим, более простым, способом — заметить, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (1;0) из центра окружности — точки (-1;1). Радиус имеет тангенс угол наклона -\frac{1}{2}. Вспомним, что произведение коэффициентов перпендикулярных прямых =-1, значит:

    \[a*(-\frac{1}{2})=-1\]

    \[a=2\]

.

Ответ: a \in (1;2).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.