Решение задания 18, вариант 10, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все a, при каждом из которых система уравнений

    \[\begin{Bmatrix} {x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|} \\{x+2y=a} \end{matrix}\]

имеет более двух решений.

Раскроем модуль:

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2-8x+y^2+4y+15=4(2x-y-10)} \\{2x-y-10 \ge 0} \\{x+2y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x^2-8x+y^2+4y+15=-4(2x-y-10)} \\{2x-y-10 < 0} \\{x+2y=a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { x^{2} + y^{2} - 16 \; x + 8 \; y + 55 = 0} \\{y \le 2x-10 } \\{y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { x^{2} + y^{2} - 25 = 0} \\{y > 2x-10} \\{y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { (x-8)^2+(y+4)^2 = 25} \\{y \le 2x-10 } \\{y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { x^{2} + y^{2} = 25} \\{y > 2x-10} \\{y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Чтобы найти координаты точек касания A и G, заметим, что прямая AG должна проходить параллельно прямой 2x-10 и через центр окружности (0;0), а значит A и G должны лежать на прямой y=2x. Подставим 2x вместо y в уравнение окружности и получим:

    \[x^{2} + (2x)^{2} - 25 = 0\]

    \[5x^2=25\]

    \[x=\pm\sqrt{5}\]

Т.е. точка A имеет координаты (\sqrt{5}; 2\sqrt{5}), точка G(-\sqrt{5}; -2\sqrt{5}) . Через точки A и G должна проходить прямая y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}, отсюда получаем:

    \[2\sqrt{5} = \frac{a}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\]

    \[a=5\sqrt{5}\]

    \[-2\sqrt{5} = \frac{a}{2}-\frac{-\sqrt{5}}{2}\]

    \[a=-5\sqrt{5}\]

Другой способ нахождения этих значений a — подставить прямую y=\frac{a}{2}-\frac{x}{2} в уравнение окружности x^{2} + y^{2} - 25 = 0. Получим:

    \[x^{2} + (\frac{a}{2}-\frac{x}{2})^{2} - 25 = 0\]

    \[\frac{5}{4} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; a \; x  +\frac{1}{4} \; a^{2}  - 25 =0\]

У этого уравнения один корень, когда прямая и окружность касаются, два корня — когда они пересекаются, нет корней — когда они не пересекаются. Нам нужно касание, т.е. мы ищем один корень — когда дискриминант равен нулю:

    \[D= \frac{a^2}{4} - 4*\frac54*(\frac14*a^2-25)=0\]

    \[a^2=125\]

    \[\left\{ a = \pm 5 \; \sqrt{5}      \right\}\]

Значения a=\pm5 очевидны — прямые должны проходить через точки (5;0) и (-5;0).

В силу симметрии параметра a относительно нуля, получаем
Ответ: a \in (-5\sqrt{5};-5] \cup [5;5\sqrt{5})

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.