Решение задания 14, вариант 8, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 5. На его ребре BB_1 отмечена точка K так, что KB = 4. Через точки K и C_1 построена плоскость \alpha, параллельная прямой BD_1.

а) Докажите, что A_1P : PB_1 = 3 : 1, где P — точка пересечения плоскости \alpha с ребром A_1B_1.

б) Найдите угол наклона плоскости \alpha к плоскости грани BB_1C_1C.

Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке https://ggbm.at/x8HkxnXs

Проведем KE || BD_1. Тогда т.E находится на расстоянии 1 от ребер куба (EG=1).
PB_1=\frac54 -из рассмотрения подобия C_1EG и C_1PB_1.
A_1P=5-\frac54=\frac{15}{4}
Проведем высоту B_1F в тр. B_1KC_1
Искомый угол B_1FP — плоскость B_1FP перпендикулярна прямой пересечения C_1K

    \[B_1F*C_1K=B_1K*B_1C_1=1*5\]

    \[B_1F=\frac{5}{\sqrt{1^2+5^2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\]

    \[tg(\angle B_1FP)=\frac{\frac54*\sqrt{26}}{5}=\frac{\sqrt{26}}{4}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.