Теоремы теории вероятностей — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Отличная книжка — Вентцель или скачать отсюда

Примеры.

Пусть по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события:

$A_1$ — попадание при первом выстреле,

$\overline{A_1}$ — промах при первом выстреле,

$A_2$ — попадание при втором выстреле,

$\overline{A_2}$ — промах при втором выстреле,

$A_3$ — попадание при третьем выстреле,

$\overline{A_3}$ — промах при третьем выстреле.

Рассмотрим более сложное событие, состоящее в том, что в результате данных трех выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий:

$B=A_1 \overline A_2 \overline A_3 + \overline A_1 A_2 \overline A_3 + \overline A_1 \overline A_2 A_3$

Событие , состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде:

$C=A_1 A_2 \overline A_3 + A_1 \overline A_2 A_3 + \overline A_1 A_2 A_3 + A_1 A_2 A_3$

Теорема сложения:

$P(A+B) = P(A) + P (B) - P(AB)$

или

$P(AB) = P(A) + P (B) - P(A+B)$

Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:

$P(A+B+C) = P(A) + P (B) + P(C) - P(AB) -P(AC) -P(BC) + P(ABC)$

Вероятность суммы четырех совместных событий вычисляется по формуле:

$P(A+B+C+D) = P(A) + P (B) + P(C) +P(D) -P(AB) -P(AC) -P(AD) -P(BC) -P(BD) -P(CD) +$

$+ P(ABC) +P(ABD) +P(ACD) +P(BCD) - P(ABCD)$

События называются несовместными, если они не пересекаются, т.е. их пересечение равно нулю, т.е. они НЕ могут произойти одновременно (как не может одновременно выпасть орел и решка, или не может одновременно выпасть единичка и двоечка на кубике, или не может пуля в классической механике одновременно попасть и не попасть в мишень):

$AB=0$

$\Rightarrow P(AB)=0$

Теорема умножения:

$P(AB)= P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B)$

где $P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ произошло.

Если $P(B|A)=P(B)$ , то $A$ и $B$ называют независимыми событиями, т.е. вероятность $B$ не зависит от того, произошло уже $A$ , или нет.
Если события независимы, то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

$P(AB)= P(A)P(B)$

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

$P(A_1 A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2A_3...A_{n-1})$

Формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события $A$ , которое может произойти вместе с одним из событий :

$H_1, H_2, H_3, ... , H_n$

,
образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.
Тогда вероятность события $A$

$P(A)=P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3) +...+ P(H_n)P(A|H_n)$

Действительно, так как гипотезы $H_1, H_2, H_3, ... , H_n$ образуют полную группу, то событие $A$ может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

$A=H_1 A + H_2 A + H_3 A + ... +H_n A$

Так как гипотезы $H_1, H_2, H_3, ... , H_n$ несовместны, то и комбинации $H_1 A, H_2 A, H_3 A, ... , H_n A$ также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

$P(A)=P(H_1 A) + P(H_2 A) + P(H_3 A) +...+ P(H_n A)$

Применяя теорему умножения, получим вышеприведенную формулу для $P(A)$ .

Немножко про алгебру логики и принцип двойственности для событий $A$ и $B$ :

$\overline{A+B} = \overline{A}*\overline{B}$

$\overline{A*B} = \overline{A}+\overline{B}$

где « $+$ » обозначает сумму событий (или одно, или другое событие), а « $*$ » обозначает умножение событий (и то , и то событие одновременно).

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru