ЕГЭ по математике 2019, Ященко 20 вариантов, решение заданий 4 (тематическая рабочая тетрадь)(зачетные задания)

Зачетные задания, стр 51

1. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух
интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят
из магазина А, равна 0,83. Вероятность того, что этот товар доставят
из магазина Б, равна 0,88. Игорь Игоревич заказал товар сразу в
обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают незави-
симо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не
доставит товар.

Вероятность события ( товар НЕ доставят из магазина А)= 1-0,83 =0,17
Вероятность события ( товар НЕ доставят из магазина B)= 1-0,88 =0,12
По теореме умножения
$P(AB)= P(A)P(B|A) = P(B) P(A|B)$ ,
где $P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ произошло.
Вероятность события [( товар НЕ доставят из магазина А) И одновременно ( товар НЕ доставят из магазина B)]= Вероятность события [( товар НЕ доставят из магазина А) * Вероятность события [( товар НЕ доставят из магазина B, при условии, товар НЕ доставили из магазина A).
Но т.к. магазины работают независимо друг от друга, то
Вероятность события [( товар НЕ доставят из магазина B, при условии, товар НЕ доставили из магазина A) = Вероятность события [( товар НЕ доставят из магазина B)=0,12
Итак, вероятность события [( товар НЕ доставят из магазина А) И одновременно ( товар НЕ доставят из магазина B)]=0,17 * 0,12 = 0,0204

2. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок име-
ют дефект. При контроле качества продукции выявляется 55% де-
фектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найди-
те вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не
имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Предположим, фабрика произвела 1000 тарелок. Тогда из них 10%, т.е. 100 тарелок имеют дефект. При контроле из этих 100 тарелок выявились 55%, т.е. 55, значит 45 не выявились и они поступили в продажу. Итого в продаже оказалось 1000-55=945 тарелок, из них 45 — некачественные, а 900 — качественные.
Вероятность, что тарелка качественная = $\frac{900}{945} \approx 0,95238... \approx 0,95$

Предположим, фабрика произвела $N$ тарелок. Тогда из них 10%, т.е. $0,1N$ тарелок имеют дефект. При контроле из этих $0,1N$ тарелок выявились 55%, т.е. $0,55*0,1N$ , значит остальные $0,45*0,1N$ не выявились и они поступили в продажу. Итого в продаже оказалось $N-0,55*0,1N=0,945N$ тарелок, из них $0,45*0,1N$ — некачественные, а $0,9N$ — качественные.
Вероятность, что тарелка качественная = $\frac{0,9N}{0,945N} \approx 0,95238... \approx 0,95$

Второе решение.
Пусть событие $H_1$ (тарелка качественная) $P(H_1)=0,9$ ,
Событие $H_2$ (тарелка некачественная) $P(H_2) =0,1$
событие $B$ (тарелка поступила в продажу)
событие $(B|H_1)$ (тарелка поступила в продажу при условии, что она является качественной ), $P(B|H_1)=1$ — все качественные поступают в продажу.
событие $(B|H_2)$ (тарелка поступила в продажу при условии, что она является НЕкачественной), $P(B|H_2)=0,45$ — только часть (а именно 45%) некачественных тарелок поступают в продажу.
Событие $(H_1|B)$ (тарелка качественная, при условии, что она уже поступила в продажу) — эту вероятность нужно найти.

Событие $B$ , что тарелка поступила в продажу, можно разложить по несовместным событиям $H_1$ и $H_2$ : (тарелка поступила в продажу $B$ И одновременно она качественная $H_1$ ) ИЛИ (тарелка поступила в продажу $B$ И одновременно она некачественная $H_2$ ):

$B=B*H_1+B*H_2$

Т.е. Событие(тарелка в продаже) = Событие (качественная тарелка в продаже) + Событие (некачественная тарелка в продаже).
По теореме сложения

$P(B)=P(B*H_1)+P(B*H_2)-P(B*H_1*B*H_2)$

Но так как $H_1$ и $H_2$ несовместны (не могут произойти одновременно, тарелка не может быть и качественной, и некачественной одновременно), то последнее слагаемое =0.
По теореме умножения $P(B*H_1)=P(H_1)*P(B|H_1)$ и $P(B*H_2)=P(H_2)*P(B|H_2)$
и мы получаем формулу полной вероятности, т.е. вероятность того, что тарелка поступила в продажу, разложена по несовместным гипотезам $H_1$ и $H_2$ :

$P(B)=P(H_1)*P(B|H_1) + P(H_2)*P(B|H_2)=0,9*1+0,1*0,45=0,9+0,045=0,945$

т.е. поступает в продажу 945 тарелок из каждой 1000.
По теореме умножения:

$P(H_1B)= P(H_1)P(B|H_1) = P(B) P(H_1|B)$

или

$P(H_1|B)=P(B|H_1)*\frac{P(H_1)}{P(B)}=1*\frac{0,9}{0,945}= \approx 0,95238... \approx 0,95$

3. На соревнования по гребле приехали 6 спортсменов из Испании,
4 спортсмена из Китая, 5 спортсменов из Индии и 5 спортсменов из
Англии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите
вероятность того, что четвёртым будет выступать спортсмен из Азии.

$P=\frac{4+5}{6+4+5+5}=\frac{9}{20}=0,45$

4. В летнюю школу по математике приехали 24 восьмиклассника,
26 девятиклассников и 30 десятиклассников. Во время обеда все
школьники выстроились в случайном порядке в очередь. Найдите
вероятность того, что первым в очереди в столовую окажется вось-
миклассник.

$P=\frac{24}{24+26+30}=\frac{24}{80}=0,3$

5. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность пе-
регорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероят-
ность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Пусть событие $A_1$ — первая лампа светила в течение года (не перегорела), $P(A_1)=1-0,29=0,71$
событие $\overline A_1$ — первая лампа перегорела в течение года, $P(\overline A_1)=0,29$ ,
событие $A_2$ — вторая лампа светила в течение года,
событие $A_3$ — третья лампа светила в течение года.
Наше событие (хотя бы одна лампа не перегорела):
$A_1 A_2 A_3 + \overline A_1 A_2 A_3 + A_1 \overline A_2 A_3 + A_1 A_2 \overline A_3 + \overline A_1 \overline A_2 A_3 + \overline A_1 A_2 \overline A_3 + A_1 \overline A_2 \overline A_3$
Противоположное к нашему событие (перегорели все три): $\overline A_1 \overline A_2 \overline A_3$

Вероятность нашего события
$P(A_1 A_2 A_3 + \overline A_1 A_2 A_3 + A_1 \overline A_2 A_3 + A_1 A_2 \overline A_3 + \overline A_1 \overline A_2 A_3 + \overline A_1 A_2 \overline A_3 + A_1 \overline A_2 \overline A_3)=$
$=1-P(\overline A_1 \overline A_2 \overline A_3)$
По теореме умножения
$P(\overline A_1 \overline A_2 \overline A_3)=P(\overline A_1)*P(\overline A_2|\overline A_1)*P(\overline A_3|\overline A_1 \overline A_2 )$
В предположении, что лампы перегорают независимо друг от друга, получаем
$P(\overline A_1 \overline A_2 \overline A_3)=0,29*0,29*0,29=0,024389$
и вероятность нашего события = 1- 0,024389 =0,975611

6. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероят-
ностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент вре-
мени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты
заходят независимо друг от друга).

Пусть событие $A_1$ — первый продавец занят с клиентом, $P(A_1)=0,4$
событие $A_2$ — второй продавец занят с клиентом,
событие $A_3$ — третий продавец занят с клиентом.
Тогда наше событие $A_1 * A_2 * A_3$
$P(A_1 * A_2 * A_3)=P(A_1)*P(A_2|A_1)*P(A_3|A_1 A_2)=0,4^3=0,064$

7. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупа-
тель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие
батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся
исправными.

Пусть событие $A_1$ — первая батарейка исправна, $\overline A_1$ — первая батарейка неисправна,
$P(A_1)=1-0,03=0,97$
Событие $A_2$ — вторая батарейка исправна
Наше событие $A_1 * A_2$
Вероятность $P(A_1 * A_2)=P(A_1)*P(A_2|A_1)=0,97*0,97=0,9409$

8. Гроссмейстеры А. и Б. играют в шахматы. Если А. играет белыми, то
он выигрывает у Б. с вероятностью 0,7. Если А. играет чёрными, то
А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,6. Гроссмейстеры А. и Б. игра-
ют две партии, причем во второй партии меняются цветами фигур.
Найдите вероятность того, что Б. выиграет оба раза.

Пусть событие $B_1$ — Гроссмейстер A проиграл в первой партии (белыми), а Б выиграл , $P(B_1)=1-0,7=0,3$ ,
событие $B_2$ — Гроссмейстер A проиграл во второй партии (черными), а Б выиграл, $P(B_2)=1-0,6=0,4$ .
Наше событие $B_1*B_2$ ,
$P(B_1*B_2)=P(B_1)*P(B_2|B_1)=0,3*0,4=0,12$

9. Монету подкинули три раза. Найдите вероятность того, что все три
раза выпала решка, если известно, что в первый раз выпала решка.

Пусть событие $A_2$ — во второй раз выпала решка,
событие $A_3$ — в третий раз выпала решка.
Наше событие $A_2*A_3$
$P(A_2*A_3)=P(A_2)*P(A_3|A_2)=\frac12*\frac12=0,25$

10. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой ка-
ждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что
система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность
того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна
0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготов-
ленная батарейка будет забракована системой контроля.

Пусть было сделано 10000 батареек. Из них неисправных 5% , или 500, исправных 9500. Из 500 неисправных будет забраковано 97%, или 485 штук, а из 9500 исправных будет забраковано 3%, или 285 штук.
Т.е. из всего 10000 батареек будет забраковано 500*0,97+9500*0,03=485+285=770
Искомая вероятность $\frac{770}{10000}=0,077$

Второе решение.
Разложим событие $A$ (батарейка забракована) по несовместным гипотезам $H_1$ «батарейка исправна»( $P(H_1)=0,95$ ) и $H_2$ «батарейка неисправна»( $P(H_2)=0,05$ ):
Событие $A$ (батарейка забракована)=Событие(исправная батарейка забракована)+Событие(неисправная батарейка забракована)=Событие $H_1$ (батарейка исправна)*Событие $A$ (батарейка забракована)+Событие $H_2$ (батарейка неисправна)*Событие $A$ (батарейка забракована).

$A=A*H_1+A*H_2$

По теореме сложения:

$P(A)=P(AH_1)+P(AH_2)-P(AH_1AH_2)=P(AH_1)+P(AH_2) -0$

т.к. $H_1$ и $H_2$ — несовместны (батарейка не может быть одновременно и исправна, и неисправна).
По теореме умножения:

$P(A)=P(H_1)*P(A|H_1)+P(H_2)*P(A|H_2)-0=0,95*P(A|H_1)+0,05*P(A|H_2)$

$P(A|H_1)=0,03$ — вероятность того, что исправная батарейка забракована системой контроля (батарейка забракована при условии, что она исправна).
$P(A|H_2)=0,97$ — вероятность того, что НЕисправная батарейка забракована системой контроля (батарейка забракована при условии, что она НЕисправна).

$P(A)=0,95*P(A|H_1)+0,05*P(A|H_2)=0,95*0,03+0,05*0,97=0,0285+0,0485=0,077$

11. Найдите вероятность того, что при броске кубика выпадет чётное
число очков.

$P=\frac{3}{6}=0,5$

12. Найдите вероятность того, что при броске двух монет выпадет ровно
одна решка.

Пусть событие $R_1$ — 1я монета, выпала решка, тогда $\overline R_1=O_1$ — 1я монета, выпал орел;
Пусть событие $R_2$ — 2я монета, выпала решка, тогда $\overline R_2=O_2$ — 2я монета, выпал орел;

Наше событие = $R_1*O_2+O_1*R_2$ (первая монета решка, вторая орел или первая орел, вторая решка)

$P(R_1*O_2+O_1*R_2)=P(R_1*O_2)+P(O_1*R_2)-P(R_1*O_2*O_1*R_2)$

,
но последнее слагаемое =0, т.к. орел и решка выпасть не могут.
$P(R_1*O_2)=P(R_1)*P(O_2|R_1)=\frac12*\frac12=0,25$
$P(O_1*R_2)=P(O_1)*P(R_2|O_1)=\frac12*\frac12=0,25$

$P(R_1*O_2+O_1*R_2)=0,25+0,25-0=0,5$

13. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников
разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия.
Всего в чемпионате участвуют 26 шахматистов, среди которых 5 уча-
стников из России, в том числе Кирилл Черноусов. Найдите вероят-
ность того, что в первом туре Кирилл Черноусов будет играть с ка-
ким-либо шахматистом из России.

$P=\frac{4}{25}=0,16$

14. В среднем из 900 шариковых ручек 45 не пишут. Найдите вероят-
ность того, что наугад взятая ручка будет писать.

$P=\frac{900-45}{900}=\frac{855}{900}=0,95$

15. В фирме такси в данный момент свободно 12 машин; 1 чёрная,
3 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно
оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность, что эта
машина — жёлтого цвета.

$P=\frac{3}{12}=0,25$

16. В группе по английскому языку учатся 10 школьников: Андрей, Ка-
тя, Лёша, Маша, Миша, Оля, Петя, Серёжа, Руслан и Толя.
В начале урока учительница произвольным образом выбирает уче-
ника, чтобы он отвечал домашнее задание у доски. Найдите вероят-
ность того, что к доске пойдёт девочка.

$P=\frac{3}{10}=0,3$

17. На соревнования по метанию ядра приехали 6 спортсменов из Ита-
лии, 3 из Германии и 3 из России. Порядок выступлений определя-
ется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что третьим будет вы-
ступать спортсмен из Германии.

$P=\frac{3}{6+3+3}=0,25$

18. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 вы-
ступлений — по одному от каждой страны. В первый день заплани-
ровано 30 выступлений, остальные распределены поровну между
оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёв-
кой. Какова вероятность того, что выступление представителя Рос-
сии состоится в третий день конкурса?

В третий день будет $\frac{50-30}{4}=5$ выступлений. Всего 50 стран.
$P=\frac{5}{50}=0,1$

19. Катя и Настя бросают кубик по одному разу. Выигрывает та девочка,
у которой выпало больше очков. Ничья, если очков поровну. Первой
бросила Катя, у неё выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что
Настя проиграет.
Нам благоприятны события, когда у Насти выпадет 1,2,3
$P=\frac{3}{6}=0,5$

20. На турнир по настольному теннису прибыли 26 участников, в том
числе близнецы Тоша и Гоша. Для проведения жеребьевки первого
тура участников случайным образом разбивают на две группы по
13 человек. Какова вероятность того, что Тоша и Гоша окажутся в
одной группе?

$P=\frac{12}{25}=0,48$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru