Решение задания 17, вариант 31, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Похожие варианты: 15, 19, 24, 29, 35

1я область: всего 1000 человеко-часов
Пусть $M$ — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 1й области
Тогда $(1000-M)$ — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 1й области
Тогда $0,3*M$ — число добытых килограмм алюминия в 1й области за сутки
Тогда $0,1*(1000-M)$ — число добытых килограмм никеля в 1й области за сутки
2я область: всего 1000 человеко-часов
Пусть $N$ — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 2й области
Тогда $(1000-N)$ — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 2й области
Тогда $\sqrt{N}$ — число добытых килограмм алюминия в 2й области за сутки
Тогда $\sqrt{1000-N}$ — число добытых килограмм никеля в 2й области за сутки

Масса добытого в сумме в двух областях алюминия за сутки:

$0,3*M + \sqrt{N}$

Масса добытого в сумме в двух областях никеля за сутки:

$0,1*(1000-M) + \sqrt{1000-N}$

Поскольку у нас в сплаве на 1 кг алюминия должно приходится 1 кг никеля, то у нас есть условие 1:1 , количество кг одного должно равняться количеству килограмм другого, это задает строгую связь между $M$ и $N$ :

(1) $\begin{equation*} 0,3*M + \sqrt{N} = 0,1*(1000-M) + \sqrt{1000-N} \end{equation*}$

Это задает уравнение линии на плоскости $M=M(N)$ :

(2) $\begin{equation*} M= 2,5*( \sqrt{1000-N} - \sqrt{N} +100) \end{equation*}$

Ссылки на картинки на Geogebra: https://ggbm.at/wfzxHhs7 и https://ggbm.at/RcCUpR3H

Полная масса сплава из никеля и алюминия за сутки как функция двух переменных $(M,N)$ :

(3) $\begin{equation*} F(M,N) = 0,3*M + \sqrt{N} + 0,1*(1000-M) + \sqrt{1000-N}=100 +0,2*M+ \sqrt{N} + \sqrt{1000-N} \end{equation*}$

Полная масса сплава зависит и от $M$ , и от $N$ . Это задает поверхность над координатами $(N,M)$ (3).
Нам нужен максимум этой функции, максимум поверхности, но при этом на линии, задаваемой уравнением (2).
Для этого надо взять производную, но у нас две переменных $(N,M)$ , поэтому выразим $M$ через $N$ (уравнение (2)) и подставим это $M=M(N)$ в $F(M,N)$ (уравнение (3)). Получим зависимость $F(M(N),N)$ , т.е. только от одной переменной $N$ :

$F(M(N),N) = 100 +0,2*2,5*( \sqrt{1000-N} - \sqrt{N} +100) + \sqrt{N} + \sqrt{1000-N}$

$F(M(N),N) = 150 + \frac32* \sqrt{1000-N} +\frac12*\sqrt{N}$

Чтобы найти при каком $N$ возникает максимум $F(M(N),N)$ , возьмем производную по $N$ , приравняем ее к нулю и поймем, это максимум или минимум:

$F^{'}_N(M,N)=\frac{1/2}{2\sqrt{N}} + \frac{-3/2}{2\sqrt{1000-N}}=0$

$\frac{1}{\sqrt{N}}=\frac{3}{\sqrt{1000-N}}$

$3\sqrt{N}=\sqrt{1000-N}$

$9N=1000-N$

$N=100$

Теперь найдем соответствующее $N=100$ значение $M$ , при котором выполняется условие $1:1$ — подставим $N=100$ в уравнения (1) и (2):

$M= 2,5*( \sqrt{1000-100} - \sqrt{100} +100)=2,5 *( 30-10+100)=2,5*120=300$

Точка $(M=300, N=100)$ — это действительно максимум, а не минимум , т.к. сравним значения на концах отрезка $N=0, N=1000$ и при $N=100$ (подставляем значения в уравнение (3)):

$F(M=300,N=100)=100+0,2*300+\sqrt{100} +\sqrt{900}=100+60+10+30=200$

$F(M=300,N=0)=F(M=300,N=1000)=100+0,2*300+\sqrt{0}+\sqrt{1000}=100+60+0+10\sqrt{10}<200$

Ответ: 200кг, при этом в первой области добывается $0,3*300=90$ кг алюминия и $0,1*(1000-300)=70$ кг никеля, во второй области добывается $\sqrt{100}=10$ кг алюминия и $\sqrt{900}=30$ кг никеля, при этом выполняется условие 1:1 — 100 кг алюминия и 100 кг никеля.

Детальный разбор с графиками будет на вебинарах. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева ?

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru