Решение задания 17, вариант 15, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Похожие варианты: 19, 24, 29, 31, 35

1я область: всего 200 человеко-часов
Пусть $M$ — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 1й области
Тогда $(200-M)$ — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 1й области
Тогда $0,2*M$ — число добытых килограмм алюминия в 1й области за сутки
Тогда $0,2*(200-M)$ — число добытых килограмм никеля в 1й области за сутки
2я область: всего 200 человеко-часов
Пусть $N$ — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 2й области
Тогда $(200-N)$ — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 2й области
Тогда $\sqrt{N}$ — число добытых килограмм алюминия в 2й области за сутки
Тогда $\sqrt{200-N}$ — число добытых килограмм никеля в 2й области за сутки

Масса добытого в сумме в двух областях алюминия за сутки:

$0,2*M + \sqrt{N}$

Масса добытого в сумме в двух областях никеля за сутки:

$0,2*(200-M) + \sqrt{200-N}$

Условие 1:1 , пример: на 150 кг алюминия приходится 150 кг никеля:

(1) $\begin{equation*} 0,2*M + \sqrt{N}=0,2*(200-M) + \sqrt{200-N} \end{equation*}$

Полная масса сплава из никеля и алюминия за сутки как функция двух переменных $(M,N)$ :

(2) $\begin{equation*} F(M,N) = 0,2*M + \sqrt{N} + 0,2*(200-M) + \sqrt{200-N}=40+ \sqrt{N} + \sqrt{200-N} \end{equation*}$

Случайно оказалось (так подобраны цифры), что полная масса сплава не зависит от $M$ , но зависит от $N$ .
Найдем максимум $F(M,N)$ , возьмем производную по $N$ , приравняем к нулю и поймем, это максимум или минимум:

$F^{'}_N(M,N)=\frac{1}{2\sqrt{N}} + \frac{-1}{2\sqrt{200-N}}=0$

$\frac{1}{\sqrt{N}}=\frac{1}{\sqrt{200-N}}$

$\sqrt{N}=\sqrt{200-N}$

$N=200-N$

$N=100$

Это действительно максимум, т.к. сравним значения на концах отрезка $N=0, N=200$ и при $N=100$ :

$F(M,100)=40+\sqrt{100}+\sqrt{200-100}=40+10+10=60$

$F(M,0)=F(M,200)=40+\sqrt{0}+\sqrt{200}=40+10\sqrt{2} < 60$

Значение $M$ фиксируется исходя из значения $N=100$ условием $1:1$ — подставьте в условие $1:1$ (уравнение (1) выше) значение $N=100$ и получите $M$ , но на общую массу сплава значение $M$ не влияет.

Ответ: 60 кг сплава

Детальный разбор с графиками будет на вебинарах. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева ?

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru