Решение задания 16, вариант 10, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда МN большей окружности касается меньшей в точке С.Хорды КМ и КN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно,а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L.
a) Докажите, что CN:CM=LB:LA
b) Найдите МN,если LB:LА как 2:3,а радиус малой окр. равен $\sqrt{23}$

Точки A и B — середины KM и KN соответственно, т.к. внутренняя окружность проходит через центр внешней и т.к. $\vartriangle KAO \sim \vartriangle KMD$ по двум углам ( $\angle{KAO}= \angle{KMD}=90^{\circ}$ ).
$\Rightarrow AB \parallel MN$ как средняя линия.
Т.к. $AB \parallel MN$ , то дуги BC и AC равны (т.к. $AB \parallel MN$ , то $\angle{BAC}=\angle{ACM}$ , а $\angle{ACM}$ опирается на дугу $AC$ и поэтому равен $= \angle{ABC}$ ),
т.е. $\angle{ABC}=\angle{BAC}$ и дуги BC и AC равны.
Т.к. дуги равны, то KC — биссектриса угла BKA, обозначим его за $2\alpha$ .
Т.к. KC — биссектриса, то $\frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}=\frac{KN}{KM}$
Т.к. AB — средняя линия, то $\vartriangle KBA \sim \vartriangle KNM$ с коэффициентом 1/2.
Поэтому $\frac{KB}{KA}=\frac{KN}{KM}=\frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}$
и по свойству биссектрисы $\frac{KB}{KA}=\frac{BL}{LA}=\frac{KN}{KM}=\frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}$
Обозначим $BL=2x, LA=3x, KB=2y, KA=3y$
Заметим, что $KL*LC=BL*LA$ — по свойству хорд.
Также вспомним формулу длины биссектрисы — $KL^2=KB*KA-BL*LA$ . Обозначим $KL=l$ .
Итак, хорды:

$l^2=2x*3x$

и формула длины биссектрисы:

$l^2=2y*3y-2x*3x$

.
Получаем

$6x^2=6y^2-6x^2$

$y^2=2x^2$

Напишем теорему косинусов для $\vartriangle ABK$ :

$AB^2=KB^2+KA^2-2*KB*KA*cos2\alpha$

$(5x)^2=(2y)^2+(3y)^2-2*2y*3y*\cos2\alpha$

$25x^2=4y^2+9y^2-12y^2*\cos2\alpha=13y^2-12y^2*\cos2\alpha=y^2(13-12\cos2\alpha)$

Подставим $y^2=2x^2$ :

$25x^2=2x^2(13-12\cos2\alpha)$

$\frac{25}{2}=(13-12\cos2\alpha)$

$\cos2\alpha=\frac{1}{24}$

Откуда $\sin2\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{576}}=\frac{\sqrt{575}}{24}=\frac{5\sqrt{23}}{24}$
Запишем теорему синусов для $\vartriangle ABK$ :

$\frac{AB}{\sin2\alpha}=2R=2\sqrt{23}$

$AB=2\sqrt{23}*\frac{5\sqrt{23}}{24}=\frac{5*23}{12}$

$MN=2AB=\frac{5*23}{6}=\frac{115}{6}$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Один комментарий к “Решение задания 16, вариант 10, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018”

У Ященко все решения которые приведены очень простые, неужели эта задача может только так сложно решаться?

Комментарии закрыты.