ЕГЭ по математике 2019, Ященко 20 вариантов, решение заданий 4 (тематическая рабочая тетрадь) (подготовительные задания)

Подготовительные задания, стр 49

1. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 под-
текают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный
для контроля насос не подтекает.

$P=\frac{2000-12}{2000}=\frac{1988}{2000}=0,994$

2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 154 качественные сумки
приходится 16 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероят-
ность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.
Результат округлите до сотых.

$P=\frac{16}{154+16}=\frac{16}{170}=0,0941...\approx 0,09$

3. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У.
верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У.
верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того,
что У. верно решит ровно 9 задач.

Событие C (решит больше 8 задач) = Событие A (решит ровно 9 задач) + событие B (решит больше 9 задач)
По теореме сложения:

$P(A+B) = P(A) + P (B) - P(AB)$

$0,73 = P(A) + 0,67 - P(AB)$

Но P(AB)=0, т.к. невозможно одновременно решить ровно 9 задач и больше 9 задач.

$0,73 = P (A) + 0,67 - 0$

Значит $P(A)=0,73-0,67=0,06$

4. В группе туристов 25 человек. Их вертолётом в несколько приёмов
забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Поря-
док, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите веро-
ятность того, что турист 3. полетит вторым рейсом вертолёта.

$P=\frac{5}{25}=0,2$

5. В группе туристов 4 человека. С помощью жребия они выбирают
двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами.
Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы,
пойдёт в магазин?

Сколько можно составить пар из 4х человек? 6 пар. В скольких парах из 6 участвует наш турист? В 3х.
Значит $P=\frac36=0,5$

6. Бабушка испекла пирожки с повидлом, капустой и картошкой и вы-
ложила их вперемешку на одно блюдо. С повидлом было 8 пирожков,
с капустой — 7, а с картошкой — 10. Внешне все пирожки выглядят
одинаково. Найдите вероятность того, что случайно взятый внучкой
пирожок окажется с капустой.

$P=\frac{7}{8+7+10}=\frac{7}{25}=0,28$

7. Маша, Олег, Соня, Миша и Кирилл играют в классики. Того, кому
первым ходить, они определяют жребием. Найдите вероятность того,
что начинать будет мальчик.

$P=\frac{3}{5}=0,6$

8. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из спи-
ска экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по
теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновре-
менно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того,
что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух
тем.
Теорема сложения:
Событие C (достался вопрос по одной или по другой теме) = Событие A (достался вопрос по теме «Тригонометрия») + Событие B (достался вопрос по теме «Внешние углы»)

$P(A+B) = P(A) + P (B) - P(AB)$

$P(A+B) = 0,2 + 0,15 - P(AB)$

Но P(AB)=0, т.к. вероятность события (достался вопрос в котором есть и «Тригонометрия» и «Внешние углы») =0 — нет таких вопросов.

$P(A+B) = 0,2 + 0,15 - 0= 0,35$

9. Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна
0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна
0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет,
но больше года.

Событие C (новый тостер прослужит больше года) = Событие A (новый тостер прослужит больше года, но меньше двух) + Событие B (новый тостер прослужит больше двух лет)

$P(C)=P(A+B) = P(A) + P (B) - P(AB)$

$0,97 = P(A) +0,84 - 0$

$P(A)=0,13$

10. Из множества натуральных чисел от 30 до 41 наудачу выбирают одно
число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?

Таких чисел три: 30,35,40. Всего чисел от 30 до 41 двенадцать.
$P=\frac{3}{12}=0,25$

11. Найдите вероятность того, что при броске монеты выпадет орёл.
P=0,5

12. В классе 6 учащихся, среди них два друга — Сергей и Вадим. Класс
случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероят-
ность того, что Сергей и Вадим окажутся в одной группе.

Сергей точно окажется в одной из групп. У Вадима есть варианты — либо оказаться в одной группе с Сергеем на одном из двух оставшихся мест, либо в другой группе, где Сергея нет, на одном из трех мест.
Всего мест 5, нашему событию благоприятны 2.
$P=\frac25=0,4$

13. В среднем на 50 карманных фонариков приходится семь неисправ-
ных. Найдите вероятность покупки неисправного фонарика.

$P=\frac{7}{50}=0,14$

14. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 13 из них
встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику не попадётся
вопрос по производной.

$P=\frac{20-13}{20}=\frac{7}{20}=0,35$

15. На чемпионате по прыжкам с шестом выступают 30 спортсменов,
среди них 6 прыгунов из Швеции и 7 прыгунов из Мексики. Порядок
выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того,
что тринадцатым будет выступать прыгун из Швеции.

На данное место претендуют 30 спортсменов, нашему событию благоприятны 6 из них.
$P=\frac{6}{30}=0,2$

16. Две футбольные команды «Ротор» и «Статор» играют серию из трёх
матчей. Вероятность ничьей в каждом матче равна 0,2. Силы команд
равны, поэтому вероятности выигрыша и проигрыша каждой ко-
манды в одном матче одинаковы. Найдите вероятность того, что все
три матча выиграет команда «Ротор».

Для каждой из команд P(ничья)=0,2; P(выиграл)=0,4; P(проиграл)=0,4 во всех трех матчах;
Событие («Ротор» выиграл все три матча) = Событие («Ротор» выиграл первый матч) * Событие («Ротор» выиграл второй матч) * Событие («Ротор» выиграл третий матч)

Теорема умножения:

$P(AB)= P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B)$

где $P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ произошло.
Если $P(B|A)=P(B)$ , то $A$ и $B$ называют независимыми событиями, т.е. вероятность $B$ не зависит от того, произошло уже $A$ , или нет.
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

$P(A_1 A_2...A_n)=P(A_1)*P(A_2|A_1)*P(A_3|A_1A_2)*...*P(A_n|A_1A_2A_3...A_{n-1})$

Вероятность P[События («Ротор» выиграл все три матча)] = Вероятность P[События («Ротор» выиграл первый матч)] * Вероятность P[События («Ротор» выиграл второй матч, при условии что выиграл первый)] * Вероятность P[События («Ротор» выиграл третий матч, при условии что выиграл и первый, и второй).

В данной задаче предполагается, что события («Ротор» выиграл первый матч) , («Ротор» выиграл второй матч) , («Ротор» выиграл третий матч) — независимы, т.е. вероятность выигрыша в последующих матчах не зависит от результата в предыдущих, и более того, мы знаем, что она равна 0,4.

Тогда P[События («Ротор» выиграл все три матча)] = 0,4* 0,4*0,4 = 0,064

17. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероят-
ность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пасса-
жиров, равна 0,85. Вероятность того, что окажется меньше 12 пас-
сажиров, равна 0,45. Найдите вероятность того, что число
пассажиров будет от 12 до 22.

Событие C (в автобусе окажется меньше 23 пассажиров) = Событие A (в автобусе окажется меньше 12 пасса-
жиров,) + Событие B (в автобусе окажется от 12 до 22 пассажиров)

$P(C)=P(A+B) = P(A) + P (B) - P(AB)$

P(AB)=0, т.к. в автобусе не может быть одновременно и меньше 12 , и от 12 до 23 пассажиров

$0,85 = 0,45 +P(B) - 0$

P(B)=0,4

18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то
момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что
часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 8, но не дойдя до
отметки 2.

От 8 до 14ти — это половина круга.
P=0,5

19. Коля и Толя играют в кости. Они бросают кубик по одному разу, вы-
игрывает тот, у кого выпадет больше очков. Первым бросил Коля, у
него выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что Толя не выиграет.

Чтобы Толя не выиграл, у него должно выпасть 1,2,3,4
$P=\frac{4}{6}=\frac23$

20. В классе 12 мальчиков и 13 девочек. 1 сентября случайным образом
определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приго-
товить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежу-
рить мальчик и девочка.

Нарисуем на земле два круга — круг 1 и круг 2.
Нам благоприятно событие :
(В круге 1 стоит девочка И в круге 2 стоит мальчик) ИЛИ
(В круге 1 стоит мальчик И в круге 2 стоит девочка)

Посчитаем вероятность события (В круге 1 стоит девочка И в круге 2 стоит мальчик)
По Теореме умножения $P(AB)= P(A)P(B|A) = P(B) P(A|B)$
Посчитаем вероятность события (В круге 1 стоит девочка И в круге 2 стоит мальчик)=
вероятность события (В круге 1 стоит девочка ) * вероятность события( в круге 2 стоит мальчик, при условии, что в круге 1 уже стоит девочка)
вероятность события (В круге 1 стоит девочка ) = $\frac{13}{25}$
вероятность события( в круге 2 стоит мальчик, при условии, что в круге 1 уже стоит девочка)= $\frac{12}{24}$
вероятность события (В круге 1 стоит девочка И в круге 2 стоит мальчик)= $\frac{13*12}{25*24}=\frac{13}{25*2}=0,26$

Теперь поменяем мальчика и девочку местами, т.е. посчитаем вероятность события (В круге 1 стоит мальчик И в круге 2 стоит девочка).
По Теореме умножения $P(AB)= P(A)P(B|A) = P(B) P(A|B)$
вероятность события (В круге 1 стоит мальчик И в круге 2 стоит девочка)=вероятность события (В круге 1 стоит мальчик ) * вероятность события( в круге 2 стоит девочка, при условии, что в круге 1 уже стоит мальчик)
вероятность события (В круге 1 стоит мальчик ) = $\frac{12}{25}$
вероятность события( в круге 2 стоит девочка, при условии, что в круге 1 уже стоит мальчик)= $\frac{13}{24}$
вероятность события (В круге 1 стоит мальчик И в круге 2 стоит девочка) = $\frac{12*13}{25*24}=\frac{13}{25*2}=0,26$

Теперь вспомним, что нам благоприятно событие :
(В круге 1 стоит девочка И в круге 2 стоит мальчик) ИЛИ
(В круге 1 стоит мальчик И в круге 2 стоит девочка)
По теореме сложения:

$P(A+B) = P(A) + P (B) - P(AB) = 0,26 + 0,26 - P(AB)$

Но вероятность события (В круге 1 стоит девочка И в круге 2 стоит мальчик) И (В круге 1 стоит мальчик И в круге 2 стоит девочка) =0, т.к. одновременно они так стоять не могут.
Ответ: 0,26 + 0,26 — 0= 0,52

Второе решение: посчитаем общее число возможных пар из 25 человек, и число возможных пар (мальчик-девочка), и поделим одно число на другое.
В комбинаторике сочетанием из $n$ по $k$ называется набор $k$ элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ различных элементов.
Число таких сочетаний дается формулой: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
Общее число возможных пар из 25 человек = $C_{25}^2=\frac{25!}{2!*23!}=\frac{25*24}{2}=25*12$ пар.
Общее число возможных пар девочек из 13 девочек: $C_{13}^2=\frac{13!}{2!*11!}=13*6$ пар девочек.
Общее число возможных пар мальчиков из 12 мальчиков: $C_{12}^2=\frac{12!}{2!*10!}=\frac{12*11}{2}=11*6$ пар мальчиков.
Общее число возможных смешанных пар= (Общее число возможных пар из 25 человек) минус (Общее число возможных пар девочек из 13 девочек) минус (Общее число возможных пар мальчиков из 12 мальчиков)=
$25*12-13*6-11*6=25*12-24*6=6(25*2-24)=6*26$
Делим одно на другое:

$\frac{6*26}{25*12}=\frac{26}{2*25}=0,52$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru