Решение задания 18, вариант 9, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых множество значений функции

    \[y= \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2}\]

содержит отрезок [2;3]

Заметим, что, так как a находится под корнем, то a\ge -1.
При таких значениях a знаменатель \sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2 оказывается строго больше нуля всегда, при любом x, а значит наша дробь y не имеет вертикальных асимптот и не имеет разрывов, т.е. полностью непрерывна при всех x, т.к. не происходит деления на ноль.
Также отметим, что она имеет вид \frac{ax+b}{cx^2+dx+e} относительно косинуса — а функции такого вида при положительном знаменателе имеют непрерывный график, асимптотически стремящийся к нулю в минус и плюс бесконечности. При этом множеством ее значений будет некоторый отрезок.
Фраза «множество значений функции содержит отрезок [2;3]» означает, что найдется хотя бы один такой x_1 при котором y(x_1)\le 2, и найдется хотя бы один такой x_2 при котором y(x_2)\ge 3
Решим эти неравенства:

(1)   \begin{equation*} \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2} \le 2 \end{equation*}

и

(2)   \begin{equation*} \frac{\sqrt{a+1}-2\cos3x+1}{\sin^2{3x}+a+2\sqrt{a+1}+2} \ge 3  \end{equation*}

Пусть t=\cos{3x}. Решаем первое неравенство:

    \[\frac{\sqrt{a+1}-2t+1}{1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2} \le 2\]

Домножим на знаменатель (он положителен при любом t из отрезка [-1,1] и любом a \ge -1)

    \[\sqrt{a+1}-2t+1 \le 2*( 1-t^2+a+2\sqrt{a+1}+2)\]

    \[2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a  \le 0\]

Нам нужно, чтобы нашлось хотя бы одно t_1 из отрезка [-1,1], при котором это было бы верно.
Это выполняется, если:

    \[\begin{bmatrix}  {\begin{Bmatrix}{D\ge 0}\\{-1 \le t_{vershini} \le 1} \\{f(1)\ge 0}\\{f(-1)\ge 0} \end{matrix}  } \\   {\begin{Bmatrix} {f(-1)\le 0}\\{f(1)\ge 0} \end{matrix}  } \\   {\begin{Bmatrix}{f(-1)\ge 0}\\{f(1)\le 0} \end{matrix}  } \end{matrix}\]

где f(t)= 2t^{2} - 2t - 3\sqrt{a+1} - 5 -2a

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.