Решение задания 18, вариант 8, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

    \[\frac{a-(a^2-2a)\cos2x+2}{3-\cos4x+a^2}<1\]

содержит отрезок [-2\pi; -\frac{7\pi}{6}]

Обозначим t=\cos2x, тогда \cos4x=2\cos^2{2x}-1=2t^2-1
Заметим, что знаменатель 3-\cos4x+a^2 > 0 при любом x.
Значит, мы можем домножить на знаменатель, т.к. нет таких x, при которых знаменатель был бы равен нулю, и при этом знак неравенства останется тем же:

    \[a-(a^2-2a)\cos2x+2<3-\cos4x+a^2\]

Сделаем замену на t:

    \[a-(a^2-2a)t+2<3-(2t^2-1)+a^2\]

    \[2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2 <0\]

Нам нужно найти все a, при которых множество решений данного неравенства содержит отрезок x \in [-2\pi; -\frac{7\pi}{6}] при этом t=\cos2x пробегает значения [\cos(2*(-2\pi)); \cos(2*(-\frac{7\pi}{6}))], т.е. [\cos(-4\pi)); \cos(-\frac{7\pi}{3})], т.е. t \in [-1,1], т.к. уже даже при изменении угла от -4\pi до -3\pi косинус пробегает значения от 1 до -1, а у нас угол меняется от -4\pi до -\frac{7\pi}{3}=-3\pi+\frac{2\pi}{3}> -3\pi.

Итак,

    \[2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2 <0\]

Нам нужно найти все a, при которых множество решений данного неравенства содержит отрезок t \in [-1,1].
Это будет происходить, если:

    \[\begin{Bmatrix} {f(-1)<0} \\{f(1)<0} \end{matrix}\]

где f(t)=2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2 — есть наша квадратичная функция по t.

    \[\begin{Bmatrix} {2(-1)^2+(-1)(2a-a^2) +a-a^2-2 <0} \\{2*1^2+1*(2a-a^2) +a-a^2-2 <0} \end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix} {-a <0} \\{-2 \; a^{2} + 3 \; a <0} \end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix} {a>0} \\{a(-2a + 3) <0} \end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix} {a>0} \\{2a >3} \end{matrix}\]

    \[a>\frac32\]

Ответ: a>1,5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.