Решение задания 18, вариант 8, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Найти все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

$\frac{a-(a^2-2a)\cos2x+2}{3-\cos4x+a^2}<1$

содержит отрезок $[-2\pi; -\frac{7\pi}{6}]$

Обозначим $t=\cos2x$ , тогда $\cos4x=2\cos^2{2x}-1=2t^2-1$
Заметим, что знаменатель $3-\cos4x+a^2 > 0$ при любом $x$ .
Значит, мы можем домножить на знаменатель, т.к. нет таких $x$ , при которых знаменатель был бы равен нулю, и при этом знак неравенства останется тем же:

$a-(a^2-2a)\cos2x+2<3-\cos4x+a^2$

Сделаем замену на $t$ :

$a-(a^2-2a)t+2<3-(2t^2-1)+a^2$

$2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2 <0$

Нам нужно найти все $a$ , при которых множество решений данного неравенства содержит отрезок $x \in [-2\pi; -\frac{7\pi}{6}]$ при этом $t=\cos2x$ пробегает значения $[\cos(2*(-2\pi)); \cos(2*(-\frac{7\pi}{6}))]$ , т.е. $[\cos(-4\pi)); \cos(-\frac{7\pi}{3})]$ , т.е. $t \in [-1,1]$ , т.к. уже даже при изменении угла от $-4\pi$ до $-3\pi$ косинус пробегает значения от 1 до -1, а у нас угол меняется от $-4\pi$ до $-\frac{7\pi}{3}=-3\pi+\frac{2\pi}{3}> -3\pi$ .

Итак,

$2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2 <0$

Нам нужно найти все $a$ , при которых множество решений данного неравенства содержит отрезок $t \in [-1,1]$ .
Это будет происходить, если:

$\begin{Bmatrix} {f(-1)<0} \\{f(1)<0} \end{matrix}$

где $f(t)=2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2$ — есть наша квадратичная функция по $t$ .

$\begin{Bmatrix} {2(-1)^2+(-1)(2a-a^2) +a-a^2-2 <0} \\{2*1^2+1*(2a-a^2) +a-a^2-2 <0} \end{matrix}$

$\begin{Bmatrix} {-a <0} \\{-2 \; a^{2} + 3 \; a <0} \end{matrix}$

$\begin{Bmatrix} {a>0} \\{a(-2a + 3) <0} \end{matrix}$

$\begin{Bmatrix} {a>0} \\{2a >3} \end{matrix}$

$a>\frac32$

Ответ: $a>1,5$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru