Решение задания 17, вариант 31, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Похожие варианты: 15, 19, 24, 29, 35

1я область: всего 1000 человеко-часов
Пусть M — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 1й области
Тогда (1000-M) — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 1й области
Тогда 0,3*M — число добытых килограмм алюминия в 1й области за сутки
Тогда 0,1*(1000-M) — число добытых килограмм никеля в 1й области за сутки
2я область: всего 1000 человеко-часов
Пусть N — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 2й области
Тогда (1000-N) — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 2й области
Тогда \sqrt{N} — число добытых килограмм алюминия в 2й области за сутки
Тогда \sqrt{1000-N} — число добытых килограмм никеля в 2й области за сутки

Масса добытого в сумме в двух областях алюминия за сутки:

    \[0,3*M + \sqrt{N}\]

Масса добытого в сумме в двух областях никеля за сутки:

    \[0,1*(1000-M) + \sqrt{1000-N}\]

Поскольку у нас в сплаве на 1 кг алюминия должно приходится 1 кг никеля, то у нас есть условие 1:1 , количество кг одного должно равняться количеству килограмм другого, это задает строгую связь между M и N:

(1)   \begin{equation*} 0,3*M + \sqrt{N} = 0,1*(1000-M) + \sqrt{1000-N} \end{equation*}

Это задает уравнение линии на плоскости M=M(N):

(2)   \begin{equation*} M= 2,5*( \sqrt{1000-N} - \sqrt{N} +100) \end{equation*}

Ссылки на картинки на Geogebra: https://ggbm.at/wfzxHhs7 и https://ggbm.at/RcCUpR3H

Полная масса сплава из никеля и алюминия за сутки как функция двух переменных (M,N):

(3)   \begin{equation*} F(M,N) = 0,3*M + \sqrt{N} + 0,1*(1000-M) + \sqrt{1000-N}=100 +0,2*M+ \sqrt{N} + \sqrt{1000-N} \end{equation*}

Полная масса сплава зависит и от M, и от N. Это задает поверхность над координатами (N,M) (3).
Нам нужен максимум этой функции, максимум поверхности, но при этом на линии, задаваемой уравнением (2).
Для этого надо взять производную, но у нас две переменных (N,M), поэтому выразим M через N (уравнение (2)) и подставим это M=M(N) в F(M,N) (уравнение (3)). Получим зависимость F(M(N),N), т.е. только от одной переменной N:

    \[F(M(N),N) = 100 +0,2*2,5*( \sqrt{1000-N} - \sqrt{N} +100) + \sqrt{N} + \sqrt{1000-N}\]

    \[F(M(N),N) = 150 + \frac32* \sqrt{1000-N} +\frac12*\sqrt{N}\]

Чтобы найти при каком N возникает максимум F(M(N),N), возьмем производную по N, приравняем ее к нулю и поймем, это максимум или минимум:

    \[F^{'}_N(M,N)=\frac{1/2}{2\sqrt{N}} + \frac{-3/2}{2\sqrt{1000-N}}=0\]

    \[\frac{1}{\sqrt{N}}=\frac{3}{\sqrt{1000-N}}\]

    \[3\sqrt{N}=\sqrt{1000-N}\]

    \[9N=1000-N\]

    \[N=100\]

Теперь найдем соответствующее N=100 значение M, при котором выполняется условие 1:1 — подставим N=100 в уравнения (1) и (2):

    \[M= 2,5*( \sqrt{1000-100} - \sqrt{100} +100)=2,5 *( 30-10+100)=2,5*120=300\]

Точка (M=300, N=100) — это действительно максимум, а не минимум , т.к. сравним значения на концах отрезка N=0, N=1000 и при N=100 (подставляем значения в уравнение (3)):

    \[F(M=300,N=100)=100+0,2*300+\sqrt{100} +\sqrt{900}=100+60+10+30=200\]

    \[F(M=300,N=0)=F(M=300,N=1000)=100+0,2*300+\sqrt{0}+\sqrt{1000}=100+60+0+10\sqrt{10}<200\]

Ответ: 200кг, при этом в первой области добывается 0,3*300=90 кг алюминия и 0,1*(1000-300)=70 кг никеля, во второй области добывается \sqrt{100}=10 кг алюминия и \sqrt{900}=30 кг никеля, при этом выполняется условие 1:1 — 100 кг алюминия и 100 кг никеля.

Детальный разбор с графиками будет на вебинарах. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева 🙂

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.