Решение задания 17, вариант 15, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Похожие варианты: 19, 24, 29, 31, 35

1я область: всего 200 человеко-часов
Пусть M — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 1й области
Тогда (200-M) — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 1й области
Тогда 0,2*M — число добытых килограмм алюминия в 1й области за сутки
Тогда 0,2*(200-M) — число добытых килограмм никеля в 1й области за сутки
2я область: всего 200 человеко-часов
Пусть N — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 2й области
Тогда (200-N) — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 2й области
Тогда \sqrt{N} — число добытых килограмм алюминия в 2й области за сутки
Тогда \sqrt{200-N} — число добытых килограмм никеля в 2й области за сутки

Масса добытого в сумме в двух областях алюминия за сутки:

    \[0,2*M + \sqrt{N}\]

Масса добытого в сумме в двух областях никеля за сутки:

    \[0,2*(200-M) + \sqrt{200-N}\]

Условие 1:1 , пример: на 150 кг алюминия приходится 150 кг никеля:

(1)   \begin{equation*} 0,2*M + \sqrt{N}=0,2*(200-M) + \sqrt{200-N} \end{equation*}

Полная масса сплава из никеля и алюминия за сутки как функция двух переменных (M,N):

(2)   \begin{equation*} F(M,N) = 0,2*M + \sqrt{N}  + 0,2*(200-M) + \sqrt{200-N}=40+ \sqrt{N} + \sqrt{200-N} \end{equation*}

Случайно оказалось (так подобраны цифры), что полная масса сплава не зависит от M, но зависит от N.
Найдем максимум F(M,N), возьмем производную по N, приравняем к нулю и поймем, это максимум или минимум:

    \[F^{'}_N(M,N)=\frac{1}{2\sqrt{N}} + \frac{-1}{2\sqrt{200-N}}=0\]

    \[\frac{1}{\sqrt{N}}=\frac{1}{\sqrt{200-N}}\]

    \[\sqrt{N}=\sqrt{200-N}\]

    \[N=200-N\]

    \[N=100\]

Это действительно максимум, т.к. сравним значения на концах отрезка N=0, N=200 и при N=100:

    \[F(M,100)=40+\sqrt{100}+\sqrt{200-100}=40+10+10=60\]

    \[F(M,0)=F(M,200)=40+\sqrt{0}+\sqrt{200}=40+10\sqrt{2} < 60\]

Значение M фиксируется исходя из значения N=100 условием 1:1 — подставьте в условие 1:1 (уравнение (1) выше) значение N=100 и получите M, но на общую массу сплава значение M не влияет.

Детальный разбор с графиками будет на вебинарах. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева 🙂

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.