Решение задания 16, вариант 10, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда МN большей окружности касается меньшей в точке С.Хорды КМ и КN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно,а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L.
a) Докажите, что CN:CM=LB:LA
b) Найдите МN,если LB:LА как 2:3,а радиус малой окр. равен \sqrt{23}

Точки A и B — середины KM и KN соответственно, т.к. внутренняя окружность проходит через центр внешней и т.к. \vartriangle KAO \sim \vartriangle KMD по двум углам (\angle{KAO}= \angle{KMD}=90^{\circ}).
\Rightarrow  AB \parallel MN как средняя линия.
Т.к. AB \parallel MN, то дуги BC и AC равны (т.к. AB \parallel MN , то \angle{BAC}=\angle{ACM}, а \angle{ACM} опирается на дугу AC и поэтому равен = \angle{ABC}),
т.е. \angle{ABC}=\angle{BAC} и дуги BC и AC равны.
Т.к. дуги равны, то KC — биссектриса угла BKA, обозначим его за 2\alpha.
Т.к. KC — биссектриса, то \frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}=\frac{KN}{KM}
Т.к. AB — средняя линия, то \vartriangle KBA \sim \vartriangle KNM с коэффициентом 1/2.
Поэтому \frac{KB}{KA}=\frac{KN}{KM}=\frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}
и по свойству биссектрисы \frac{KB}{KA}=\frac{BL}{LA}=\frac{KN}{KM}=\frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}
Обозначим BL=2x, LA=3x, KB=2y, KA=3y
Заметим, что KL*LC=BL*LA — по свойству хорд.
Также вспомним формулу длины биссектрисы — KL^2=KB*KA-BL*LA. Обозначим KL=l.
Итак, хорды:

    \[l^2=2x*3x\]

и формула длины биссектрисы:

    \[l^2=2y*3y-2x*3x\]

.
Получаем

    \[6x^2=6y^2-6x^2\]

    \[y^2=2x^2\]

Напишем теорему косинусов для \vartriangle ABK:

    \[AB^2=KB^2+KA^2-2*KB*KA*cos2\alpha\]

    \[(5x)^2=(2y)^2+(3y)^2-2*2y*3y*\cos2\alpha\]

    \[25x^2=4y^2+9y^2-12y^2*\cos2\alpha=13y^2-12y^2*\cos2\alpha=y^2(13-12\cos2\alpha)\]

Подставим y^2=2x^2:

    \[25x^2=2x^2(13-12\cos2\alpha)\]

    \[\frac{25}{2}=(13-12\cos2\alpha)\]

    \[\cos2\alpha=\frac{1}{24}\]

Откуда \sin2\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{576}}=\frac{\sqrt{575}}{24}=\frac{5\sqrt{23}}{24}
Запишем теорему синусов для \vartriangle ABK:

    \[\frac{AB}{\sin2\alpha}=2R=2\sqrt{23}\]

    \[AB=2\sqrt{23}*\frac{5\sqrt{23}}{24}=\frac{5*23}{12}\]

    \[MN=2AB=\frac{5*23}{6}=\frac{115}{6}\]


Не очень понятно как решено задание? Получи ответ от меня на вебинаре лично!
Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Приходи на бесплатный вебинар:
"7 шагов скоростной подготовки к ЕГЭ по математике.
Задачи по стереометрии"
в понедельник 22го января в 18:50

Зарегистрироваться на вебинар. Заходи!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.