Решение задания 18, вариант 14, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Найти все значения $a$ , при каждом из которых система

$\begin{Bmatrix} {y^2-x-2=|x^2-x-2|} \\{x-y=a} \end{matrix}$

имеет более двух решений.

Раскроем модуль:

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {y^2-x-2-(x^2-x-2)= 0} \\{x^2-x-2 \ge 0} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {y^2-x-2+(x^2-x-2) = 0} \\{x^2-x-2 < 0} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {(y-x)(y+x)= 0} \\{x^2-x-2 \ge 0} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {y^2+x^2-2x+1 = 5} \\{x^2-x-2 < 0} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {(y-x)(y+x)= 0} \\{x \in (-\infty;-1]\cup[2;+\infty)} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {y^2+(x-1)^2 = 5} \\{x \in (-1;2)} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}$

Найдем при каких $a$ происходит касание прямой $y=x-a$ и окружности $y^2+(x-1)^2 = 5$ :

$(x-a)^2+(x-1)^2 = 5$

$x^{2} - 2 \; a \; x +a^2+ x^{2} - 2 \; x + 1 = 5$

$2 x^{2} + x(-2-2a) +a^2 -4=0$

Касание происходит, когда только одно решение, т.е. $D=0$ :

$D=(-2-2a)^2-4*2*(a^2-4)=0$

$(-4) * a^2 + 8 * a +36= 0$

$\left\{ a = 1 -\sqrt{10} ; \; a = 1+ \sqrt{10} \right\}$

Для левой верхней точки касания берем $a= 1-\sqrt{10}$ .

Есть 2й способ нахождения $a$ : заметим, что касательная $y=x-a$ имеет тангенс угла наклона $=1$ , значит радиус, проведенный в точку касания, будет иметь тангенс $=-1$ , отсюда сообразим какие координаты у левой верхней точки касания : радиус $=\sqrt{5}$ , значит координаты левой верхней точки касания $(x_0=1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}; y_0=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})$ (представьте себе прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой — радиусом из $A(1;0)$ в точку касания, длиной $\sqrt{5}$ , тогда катеты у него равны по $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ ).
Подставим $(x_0=1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}; y_0=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})$ в уравнение прямой $y=x-a$ , получим:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - a$

$a= 1-\sqrt{10}$

Ответ: $a \in (1-\sqrt{10}; -2)\cup \{0\}$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru