книга Высоцкого стр 23 задача 18 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

задача 18 стр 23 Высоцкого
При каких $a$ множество решений неравенств $(a^2-6a+8)x \le 3a-12$ и $(2a^2-a^3)x \ge 6a+7-4a^2$ совпадают?

Решим первое неравенство

$(a^2-6a+8)x \le 3a-12$

$a^2-6a+8 <0$ при $a \in [2;4]$ .
$a^2-6a+8 =0$ при $a=2$ или 4.

при $a^2-6a+8$ =0:
при $a=2$ : $0*x \le 6-12=-6$ — неверно, таких $x$ нет.
при $a=4$ : $0*x \le 12-12=0$ верно при любом $x \in R$

при $a^2-6a+8 >0$ — т.е. при $a<2 \cup a>4$ — делим обе части на $a^2-6a+8 >0$ и
получаем $x \le (3a-12)/(a^2-6a+8)=3(a-4)/(a-2)(a-4)=3/(a-2)$
$x \le 3/(a-2)$

при $a^2-6a+8 <0$ т.е. при $2<a<4$ делим обе части на $a^2-6a+8 <0$
получаем $x \ge (3a-12)/(a^2-6a+8)=3(a-4)/(a-2)(a-4)=3/(a-2)$
$x \ge 3/(a-2)$
————————————————————-
Решим второе неравенство

$(2a^2-a^3)x \ge 6a+7-4a^2$

$a^2(2-a)=0$ : $a=2$ или $a=0$
Случай $a=2$ : $0*x \ge 3$ неверно, таких $x$ нет — и это совпадает с первым неравенством.
Случай $a=0$ : $0*x \ge 7$ неверно, таких x нет

Случай $a^2(2-a)>0$ , т.е. $a \in (-\infty;0)\cup(0,2)$ , делим обе части на $a^2(2-a)>0$
получаем $x\ge (6a+7-4a^2)/a^2(2-a)$

Случай $a^2(2-a)<0$ , т.е. $a>2$ , делим на $a^2(2-a)<0$
получаем $x\le (6a+7-4a^2)/[a^2(2-a)]$

сравниваем — при каких $a$ одновременно $x \ge$ чего-то? Пересечений по $a$ нет.
сравниваем — при каких $a$ одновременно $x \le$ чего-то? Пересечение по $a$ есть: $a>4$
Итак, при $a>4$ должен совпасть луч

$(6a+7-4a^2)/[a^2(2-a)] = 3/(a-2)$

$(6a+7-4a^2) = -3a^2$
$a^2-6a-7=0$ , т.е. $a=-1$ или $a=7$ . Условию $a>4$ удовлетворяет $a=7$ , т.е. при $a=$ 7 у обоих неравенств лучи совпадают.

Ответ: $a=2 \cup a=7$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru