Решение задания 14, вариант 34, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC все ребра равны 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер AB и BC.
б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

Решение аналогично тому, что здесь

Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке: cсылка .

$JF=\frac23*\frac12*MN=\frac23*\frac12*3=1$

Второе решение, координатный способ.
Введем систему координат с центром в т.O. Ось X направим в сторону B, ось Z — вверх, ось Y — перпендикулярно к X и Z (на рисунке вправо).
Координаты точек:
$O(0;0;0); B(2\sqrt{3};0;0); S(0;0;2\sqrt{6}); N(\frac{\sqrt{3}}{2};1.5;0)$
Чтобы найти координаты F, заметим, что $\overrightarrow{OF}=\frac13\overrightarrow{OS}+\frac23\overrightarrow{ON}$ , что следует из того факта, что SF:FN=2:1
Действительно, $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{ON}+\frac13\overrightarrow{NS}= \overrightarrow{ON}+\frac13(\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{ON})= \frac13\overrightarrow{OS}+\frac23\overrightarrow{ON}$
Найдем координаты вектора $\overrightarrow{OF}=\frac13(0;0;2\sqrt{6})+\frac23(\frac{\sqrt{3}}{2};1.5;0)=(\frac{\sqrt{3}}{3};1;\frac23\sqrt{6})$
Это и есть координаты т.F
Пишем уравнение плоскости, проходящей через точки OSB:
$Ax+By+Cz+D=0$
Подставляем т.O, получаем D=0;
т.S: $C2\sqrt{6}=0$ , откуда C=0;
т.B: $A2\sqrt{3}+0=0$ , откуда A=0;
Возьмем B=1, получим уравнение плоскости (OSB): $y=0$
Расстояние между точкой F $(\frac{\sqrt{3}}{3};1;\frac23\sqrt{6})$ и плоскостью $y=0$ :

$\frac{Ax_F+By_F+Cz_F+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{0*\frac{\sqrt{3}}{3}+1*1+0*\frac23\sqrt{6}+0}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=1$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru