Решение задания 14, вариант 21, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер AB, B_1C_1, AD.

б) Найдите угол между плоскостью A_1BD и плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, B_1C_1, AD.

Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке
https://ggbm.at/nAKXHwEB

Пусть a — ребро куба.

    \[A_1R=\frac34 a\sqrt{2}\]

    \[A_1Q=\frac34*a\sqrt{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac34 a\sqrt{\frac32}\]

    \[RQ=\frac34 C_1S=\frac34*\sqrt{a^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2}=\frac34 a\sqrt{\frac32}\]

По теореме косинусов

    \[A_1R^2=A_1Q^2+RQ^2-2A_1Q*RQ*\cos\angle A_1QR\]

    \[\frac{9}{16}*2=2*\frac{9}{16}*\frac32- 2 *\frac{9}{16}*\frac32*\cos\angle A_1QR\]

    \[\cos\angle A_1QR =\frac{2-3}{-3}=\frac13\]

    \[tg \angle A_1QR = \sqrt{3^2-1}=2\sqrt{2}\]

Второй способ.
Введем систему координат B(0;0;0), D(2;2;0), A_1(0;2;2), I(0;0;1), E(0;1;0), F(1;0;2)
Уравнение плоскости, проходящей через B,D,A_1:

    \[Ax+By+Cz+D=0\]

Подставляем в него точки B,D,A_1:

    \[D=0\]

    \[2A+2B=0 => A=-B\]

    \[2B+2C=0 => C=-B=A\]

Можно взять A=1=C; B=-1; D=0
Получаем уравнение плоскости, проходящей через B,D,A_1:

    \[x-y+z+0=0\]

Вектор, перпендикулярный плоскости (BDA_1), имеет координаты (1;-1;1)

Уравнение плоскости, проходящей через I,E,F:

    \[A'x+B'y+C'z+D'=0\]

Подставляем в него точки I,E,F:

    \[C'+D'=0 => C'=-D'\]

    \[B'+D'=0 => B'=-D'=C'\]

    \[A'+2C'+D'=0\]

    \[A'=-D'-2C'=C'-2C=-C'\]

Можно взять A'=-1; B'=C'=1; D'=-1
Получаем уравнение плоскости, проходящей через I,E,F:

    \[-x+y+z-1=0\]

Вектор, перпендикулярный плоскости (IEF), имеет координаты (-1;1;1)

Возьмем скалярное произведение векторов (1;-1;1)*(-1;1;1)=-1-1+1=-1
C другой стороны оно равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

    \[-1=\sqrt{3}*\sqrt{3}*\cos\phi\]

Откуда

    \[\cos\phi=-\frac13\]

Знак минус означает, означает, что угол тупой, но нам нужен острый, поэтому
Ответ: \cos\phi=\frac13



Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Приходи на бесплатный вебинар
по разбору задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.