Решение задания 18, вариант 24, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Найти все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $x^2-|x+a+3|=|x-a-3|-(a+3)^2$ имеет единственный корень.

Введем новый параметр $b \equiv a+3$ и перепишем в виде $x^2-|x+b|=|x-b|-b^2$ или

$x^2+b^2=|x+b|+|x-b|$

Заметим, что при изменении $b$ у нас слева парабола ездит вверх-вниз, а фигура $|x+b|+|x-b|$ тоже ездит вверх-вниз и при этом становится уже-шире, с горизонтальной линией на высоте $2|b|$ между точками $b$ и $-b$ .
В силу симметрии относительно вертикальной оси у нас корни, если они будут, будут симметричны — корню слева от оси OY будет соответствовать корень справа от оси OY — и на той же высоте, при том же значении $y$ . Поэтому нечетное число корней может быть, если корнем является значение $x=0$ .
Подставим в наше уравнение $x=0$ — получим:

$0^2+b^2=|0+b|+|0-b|$

$b^2=2|b|$

$|b|^2-2|b|=0$

$|b|(|b|-2)=0$

$b=0$ или $b=\pm 2$
При $b=0$ будет 3 корня:

При $b=2$ и $b=-2$ будет один корень $x=0$ :

Осталось перейти от $b$ к $a=b-3$

Ответ: $a=-5$ и $a=-1$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru