Решение задания 17, вариант 35, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Похожие варианты: 15, 19, 24, 29, 31

1я область: всего 800 человеко-часов
Пусть $M$ — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 1й области
Тогда $(800-M)$ — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 1й области
Тогда $0,1*M$ — число добытых килограмм алюминия в 1й области за сутки
Тогда $0,3*(800-M)$ — число добытых килограмм никеля в 1й области за сутки
2я область: всего 800 человеко-часов
Пусть $N$ — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 2й области
Тогда $(800-N)$ — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 2й области
Тогда $\sqrt{N}$ — число добытых килограмм алюминия в 2й области за сутки
Тогда $\sqrt{800-N}$ — число добытых килограмм никеля в 2й области за сутки

Масса добытого в сумме в двух областях алюминия за сутки:

$0,1*M + \sqrt{N}$

Масса добытого в сумме в двух областях никеля за сутки:

$0,3*(800-M) + \sqrt{800-N}$

Поскольку у нас алюминий можно заменить на никель, то у нас может производиться разное количество этих металлов, т.е. нет условия 1:1 , количество кг одного может НЕ равняться количеству килограмм другого:

(1) $\begin{equation*} 0,1*M + \sqrt{N} \ne 0,3*(800-M) + \sqrt{800-N} \end{equation*}$

Т.к. рабочие в 1й области в три раза эффективнее производят никель,то логично, чтобы они все время производили только никель, тогда общий вес сплава с двух областей будет больше. Ведь мы можем заменить одно на другое — нам не важно, что конкретно производить. Нам важна только общая масса, чтобы она была максимальной, а какое соотношение между металлами — абсолютно неважно.

Полная масса сплава из никеля и алюминия за сутки как функция двух переменных $(M,N)$ :

(2) $\begin{equation*} F(M,N) = 0,1*M + \sqrt{N} + 0,3*(800-M) + \sqrt{800-N}=240 -0,2*M+ \sqrt{N} + \sqrt{800-N} \end{equation*}$

Полная масса сплава зависит и от $M$ , и от $N$ .
Нам нужен максимум этой функции, без ограничений как в варианте 31, т.е. без линии на которой заданы условия, т.е. просто мы ищем максимум поверхности на прямоугольнике $0\le M \le 800, 0\le N \le 800$ .
Из картинок на Geogebra: https://ggbm.at/wfzxHhs7 и https://ggbm.at/RcCUpR3H видно, что этот максимум достигается, когда $N$ — серединка , а $M$ — находится на краю.
Из формулы (2) тоже видно, что $F(M,N)$ тем больше, чем $M$ меньше, и нам выгодно, чтобы $M=0$ , т.е. в первой области производился только никель.

Т.к. $M$ у нас не зависит от $N$ , т.е. нет такого ограничения как в варианте 31 (там есть условие 1:1
— условие зависимости $M=M(N)$ ), то у нас здесь $M$ и $N$ — независимые переменные, значит мы можем взять производные от $F(M,N)$ независимо , отдельно по $M$ и отдельно по $N$ .
При этом производная по $M$ :

$F^{'}_M(M,N)=-0,2$

и это значит, что максимум по $M$ достигается на конце отрезка $0\le M \le 800$ , т.е. при $M=0$ (функция по $M$ убывает, значит максимум в левом конце отрезка $[0,800]$ ).

Возьмем производную по $N$ , приравняем к нулю и поймем, это максимум или минимум $F(M,N)$ по $N$ :

$F^{'}_N(M,N)=\frac{1}{2\sqrt{N}} + \frac{-1}{2\sqrt{800-N}}=0$

$\frac{1}{\sqrt{N}}=\frac{1}{\sqrt{800-N}}$

$\sqrt{N}=\sqrt{800-N}$

$N=800-N$

$N=400$

Это действительно максимум, т.к. сравним значения на концах отрезка $N=0, N=800$ и при $N=400$ :

$F(M=0,N=400)=240+\sqrt{400}+\sqrt{800-400}=240+20+20=280$

$F(M=0,N=0)=F(M=0,N=800)=80+\sqrt{0}+\sqrt{800}=240+20\sqrt{2} < 280$

Ответ: 280 кг, при этом в первой области алюминий не добывался (0 кг), добывался только никель — 0,3*800=240 кг, во второй области — поровну= $\sqrt{400}=20$ — по 20 кг алюминия и никеля. Итого 260 кг никеля и 20 кг алюминия.

Детальный разбор с графиками будет на вебинарах. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева ?

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Один комментарий к “Решение задания 17, вариант 35, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018”