Решение задания 18, вариант 7, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\begin{Bmatrix} {x^2+20x+y^2-20y+75=|x^2+y^2-25|} \\{x-y=a} \end{matrix}$

имеет более одного решения.

Раскроем модуль:

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2-25 \ge 0} \\{x^2+20x+y^2-20y+75=x^2+y^2-25} \\{x-y=a} \end{matrix} }\\ { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2-25 < 0} \\{x^2+20x+y^2-20y+75=-x^2-y^2+25} \\{x-y=a} \end{matrix} } \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2 \ge 5^2} \\{y=x+5} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\ { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2 < 5^2} \\{x^2+10x+y^2-10y+25+25=25} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2 \ge 5^2} \\{y=x+5} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\ { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2 < 5^2} \\{ (x+5)^2 +(y-5)^2 =5^2} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}$

Найдем значение параметра $a$ при котором прямая $y=x-a$ касается окружности $(x+5)^2 +(y-5)^2 =5^2$ с центром O(-5,5), для этого подставим $x-a$ вместо $y$ в окружность, получим:

$(x+5)^2 +(x-a-5)^2 =5^2$

$2 x^{2} - 2ax + a^{2} + 10 a + 25 = 0$

Касание будет, когда у этого уравнения всего одно решение, т.е. при дискриминанте равном нулю:

$D=(-2a)^2-4*2*(a^2+10a+25) =-4a^2 - 80a - 200=0$

Получаем:

$a_1= -5\sqrt{2} - 10$

$a_2 = 5\sqrt{2} - 10$

При значениях параметра $a$ между $a_1$ и $a_2$ дискриминант будет положителен — значит будет два пересечения прямой и окружности. При значениях параметра $a$ равных $a_1$ и $a_2$ — корень у $D$ только один — происходит касание прямой $y=x-a$ и окружности $(x+5)^2 +(y-5)^2 =5^2$
Нам подходят все значения параметра $a$ , при которых прямая $y=x-a$ пересекает окружность между точками $A,B$ и $C$ .

Плюс также вы можете посмотреть решение в самой книжке Ященко на стр.215. Нажмите на ссылку.

Ответ: Исходная система имеет более одного решения при $a \in (5\sqrt{2} - 10,-5]$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru