Решение задания 18, вариант 7, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

    \[\begin{Bmatrix} {x^2+20x+y^2-20y+75=|x^2+y^2-25|} \\{x-y=a} \end{matrix}\]

имеет более одного решения.

Раскроем модуль:

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2-25 \ge 0} \\{x^2+20x+y^2-20y+75=x^2+y^2-25} \\{x-y=a} \end{matrix} }\\ { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2-25 < 0} \\{x^2+20x+y^2-20y+75=-x^2-y^2+25} \\{x-y=a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2 \ge 5^2} \\{y=x+5} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\ { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2 < 5^2} \\{x^2+10x+y^2-10y+25+25=25} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2 \ge 5^2} \\{y=x+5} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\ { \begin{Bmatrix} {x^2+y^2 < 5^2} \\{ (x+5)^2 +(y-5)^2 =5^2} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Найдем значение параметра a при котором прямая y=x-a касается окружности (x+5)^2 +(y-5)^2 =5^2 с центром O(-5,5), для этого подставим x-a вместо y в окружность, получим:

    \[(x+5)^2 +(x-a-5)^2 =5^2\]

    \[2 x^{2} - 2ax + a^{2} + 10 a + 25 = 0\]

Касание будет, когда у этого уравнения всего одно решение, т.е. при дискриминанте равном нулю:

    \[D=(-2a)^2-4*2*(a^2+10a+25) =-4a^2 - 80a - 200=0\]

Получаем:

    \[a_1= -5\sqrt{2} - 10\]

    \[a_2 = 5\sqrt{2} - 10\]

При значениях параметра a между a_1 и a_2 дискриминант будет положителен — значит будет два пересечения прямой и окружности. При значениях параметра a равных a_1 и a_2 — корень у D только один — происходит касание прямой y=x-a и окружности (x+5)^2 +(y-5)^2 =5^2
Нам подходят все значения параметра a, при которых прямая y=x-a пересекает окружность между точками A,B и C.

Плюс также вы можете посмотреть решение в самой книжке Ященко на стр.215. Нажмите на ссылку.

Ответ: Исходная система имеет более одного решения при a \in (5\sqrt{2} - 10,-5]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.