Решение задания 18, вариант 24, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение x^2-|x+a+3|=|x-a-3|-(a+3)^2 имеет единственный корень.

Введем новый параметр b \equiv a+3 и перепишем в виде x^2-|x+b|=|x-b|-b^2 или

    \[x^2+b^2=|x+b|+|x-b|\]

Заметим, что при изменении b у нас слева парабола ездит вверх-вниз, а фигура |x+b|+|x-b| тоже ездит вверх-вниз и при этом становится уже-шире, с горизонтальной линией на высоте 2|b| между точками b и -b.
В силу симметрии относительно вертикальной оси у нас корни, если они будут, будут симметричны — корню слева от оси OY будет соответствовать корень справа от оси OY — и на той же высоте, при том же значении y. Поэтому нечетное число корней может быть, если корнем является значение x=0.
Подставим в наше уравнение x=0 — получим:

    \[0^2+b^2=|0+b|+|0-b|\]

    \[b^2=2|b|\]

    \[|b|^2-2|b|=0\]

    \[|b|(|b|-2)=0\]

b=0 или b=\pm 2
При b=0 будет 3 корня:

При b=2 и b=-2 будет один корень x=0:

Осталось перейти от b к a=b-3

Ответ: a=-5 и a=-1

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.