Решение задания 18, вариант 18, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

    \[\begin{Bmatrix} {x^2+|x^2-2x|=y^2+|y^2-2y|} \\{x+y=a} \end{matrix}\]

имеет более двух решений.

Раскроем модуль:

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2+(x^2-2x)=y^2+(y^2-2y)} \\{x^2-2x \ge 0} \\{y^2-2y \ge 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x^2-(x^2-2x)=y^2+(y^2-2y)} \\{x^2-2x < 0} \\{y^2-2y \ge 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x^2+(x^2-2x)=y^2-(y^2-2y)} \\{x^2-2x \ge 0} \\{y^2-2y < 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x^2-(x^2-2x)=y^2-(y^2-2y)} \\{x^2-2x < 0} \\{y^2-2y < 0} \\{x+y=a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {0=y^2-x^2-y+x=(y-x)(y+x)-(y-x)=(y-x)(y+x-1)} \\{x(x-2) \ge 0} \\{y(y-2) \ge 0} \\{y=-x+a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x=y(y-1)} \\{x(x-2) < 0} \\{y(y-2) \ge 0} \\{y=-x+a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x(x-1)=y} \\{x(x-2) \ge 0} \\{y(y-2) < 0} \\{y=-x+a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x=y} \\{x(x-2) < 0} \\{y(y-2) < 0} \\{y=-x+a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Ответ: a \in (0;1]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.