Решение задания 18, вариант 15, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

    \[\begin{Bmatrix} {x^2+5x+y^2-y-|x-5y+5|=52} \\{y-2=a(x-5)} \end{matrix}\]

имеет ровно два решения.

Раскроем модуль:

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^2+5x+y^2-y-(x-5y+5)=52} \\{x-5y+5 \ge 0} \\{y-2=a(x-5)} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x^2+5x+y^2-y+(x-5y+5)=52} \\{x-5y+5 < 0} \\{y-2=a(x-5)} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {x^{2} + y^{2} + 4 \; x + 4 \; y - 5 = 52} \\{y \le \frac{x+5}{5}=\frac{x}{5}+1} \\{y-2=a(x-5)} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x^{2} + y^{2} + 6 \; x - 6 \; y + 5 = 52} \\{y> \frac{x+5}{5}=\frac{x}{5}+1} \\{y-2=a(x-5)} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {\left(x + 2 \right)^{2} +  \left(y +2 \right)^{2} = 65} \\{y \le \frac{x}{5}+1} \\{y-2=a(x-5)} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {\left(x + 3 \right)^{2} +  \left(y - 3 \right)^{2} = 65} \\{y> \frac{x}{5}+1} \\{y-2=a(x-5)} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Ровно два решения будет, когда когда прямая y-2=a(x-5) в крайних положениях является касательной к окружностям — к одной и ко второй. Тангенс угла наклона касательной проще всего найти из понимания, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, и что перпендикулярные прямые имеют произведение коэффициентов углов наклона, равное -1.
Тангенс угла наклона отрезка AC = -\frac18, значит перпендикулярная ему касательная будет иметь тангенс угла наклона =8. Тангенс угла наклона отрезка BC = \frac47, значит перпендикулярная ему касательная будет иметь тангенс угла наклона =-\frac74

Ответ: a \in [-\frac74; 8].

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.