Решение задания 18, вариант 14, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых система

    \[\begin{Bmatrix} {y^2-x-2=|x^2-x-2|} \\{x-y=a} \end{matrix}\]

имеет более двух решений.

Раскроем модуль:

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {y^2-x-2-(x^2-x-2)= 0} \\{x^2-x-2 \ge 0} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {y^2-x-2+(x^2-x-2) = 0} \\{x^2-x-2 < 0} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {(y-x)(y+x)= 0} \\{x^2-x-2 \ge 0} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {y^2+x^2-2x+1 = 5} \\{x^2-x-2 < 0} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {(y-x)(y+x)= 0} \\{x \in (-\infty;-1]\cup[2;+\infty)} \\{y=x-a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {y^2+(x-1)^2 = 5} \\{x \in (-1;2)} \\{y=x-a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Найдем при каких a происходит касание прямой y=x-a и окружности y^2+(x-1)^2 = 5:

    \[(x-a)^2+(x-1)^2 = 5\]

    \[x^{2} - 2 \; a \; x  +a^2+  x^{2} - 2 \; x + 1 = 5\]

    \[2 x^{2} + x(-2-2a) +a^2 -4=0\]

Касание происходит, когда только одно решение, т.е. D=0:

    \[D=(-2-2a)^2-4*2*(a^2-4)=0\]

    \[(-4) * a^2 + 8 * a +36= 0\]

    \[\left\{ a = 1 -\sqrt{10} ; \; a = 1+ \sqrt{10}  \right\}\]

Для левой верхней точки касания берем a= 1-\sqrt{10}.

Есть 2й способ нахождения a: заметим, что касательная y=x-a имеет тангенс угла наклона =1, значит радиус, проведенный в точку касания, будет иметь тангенс =-1, отсюда сообразим какие координаты у левой верхней точки касания : радиус =\sqrt{5}, значит координаты левой верхней точки касания (x_0=1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}; y_0=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}) (представьте себе прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой — радиусом из A(1;0) в точку касания, длиной \sqrt{5}, тогда катеты у него равны по \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}).
Подставим (x_0=1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}; y_0=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}) в уравнение прямой y=x-a, получим:

    \[\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - a\]

    \[a= 1-\sqrt{10}\]

Ответ: a \in (1-\sqrt{10}; -2)\cup \{0\}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.