Решение задания 17, вариант 35, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Похожие варианты: 15, 19, 24, 29, 31

1я область: всего 800 человеко-часов
Пусть M — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 1й области
Тогда (800-M) — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 1й области
Тогда 0,1*M — число добытых килограмм алюминия в 1й области за сутки
Тогда 0,3*(800-M) — число добытых килограмм никеля в 1й области за сутки
2я область: всего 800 человеко-часов
Пусть N — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 2й области
Тогда (800-N) — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 2й области
Тогда \sqrt{N} — число добытых килограмм алюминия в 2й области за сутки
Тогда \sqrt{800-N} — число добытых килограмм никеля в 2й области за сутки

Масса добытого в сумме в двух областях алюминия за сутки:

    \[0,1*M + \sqrt{N}\]

Масса добытого в сумме в двух областях никеля за сутки:

    \[0,3*(800-M) + \sqrt{800-N}\]

Поскольку у нас алюминий можно заменить на никель, то у нас может производиться разное количество этих металлов, т.е. нет условия 1:1 , количество кг одного может НЕ равняться количеству килограмм другого:

(1)   \begin{equation*} 0,1*M + \sqrt{N} \ne 0,3*(800-M) + \sqrt{800-N} \end{equation*}

Т.к. рабочие в 1й области в три раза эффективнее производят никель,то логично, чтобы они все время производили только никель, тогда общий вес сплава с двух областей будет больше. Ведь мы можем заменить одно на другое — нам не важно, что конкретно производить. Нам важна только общая масса, чтобы она была максимальной, а какое соотношение между металлами — абсолютно неважно.

Полная масса сплава из никеля и алюминия за сутки как функция двух переменных (M,N):

(2)   \begin{equation*} F(M,N) = 0,1*M + \sqrt{N} + 0,3*(800-M) + \sqrt{800-N}=240 -0,2*M+ \sqrt{N} + \sqrt{800-N} \end{equation*}

Полная масса сплава зависит и от M, и от N.
Нам нужен максимум этой функции, без ограничений как в варианте 31, т.е. без линии на которой заданы условия, т.е. просто мы ищем максимум поверхности на прямоугольнике 0\le M \le 800, 0\le N \le 800.
Из картинок на Geogebra: https://ggbm.at/wfzxHhs7 и https://ggbm.at/RcCUpR3H видно, что этот максимум достигается, когда N — серединка , а M— находится на краю.
Из формулы (2) тоже видно, что F(M,N) тем больше, чем M меньше, и нам выгодно, чтобы M=0, т.е. в первой области производился только никель.

Т.к. M у нас не зависит от N, т.е. нет такого ограничения как в варианте 31 (там есть условие 1:1
— условие зависимости M=M(N)), то у нас здесь M и N — независимые переменные, значит мы можем взять производные от F(M,N) независимо , отдельно по M и отдельно по N .
При этом производная по M:

    \[F^{'}_M(M,N)=-0,2\]

и это значит, что максимум по M достигается на конце отрезка 0\le M \le 800, т.е. при M=0 (функция по M убывает, значит максимум в левом конце отрезка [0,800]).

Возьмем производную по N, приравняем к нулю и поймем, это максимум или минимум F(M,N) по N:

    \[F^{'}_N(M,N)=\frac{1}{2\sqrt{N}} + \frac{-1}{2\sqrt{800-N}}=0\]

    \[\frac{1}{\sqrt{N}}=\frac{1}{\sqrt{800-N}}\]

    \[\sqrt{N}=\sqrt{800-N}\]

    \[N=800-N\]

    \[N=400\]

Это действительно максимум, т.к. сравним значения на концах отрезка N=0, N=800 и при N=400:

    \[F(M=0,N=400)=240+\sqrt{400}+\sqrt{800-400}=240+20+20=280\]

    \[F(M=0,N=0)=F(M=0,N=800)=80+\sqrt{0}+\sqrt{800}=240+20\sqrt{2} < 280\]

Ответ: 280 кг, при этом в первой области алюминий не добывался (0 кг), добывался только никель — 0,3*800=240 кг, во второй области — поровну= \sqrt{400}=20 — по 20 кг алюминия и никеля. Итого 260 кг никеля и 20 кг алюминия.

Детальный разбор с графиками будет на вебинарах. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева 🙂


Не очень понятно как решено задание? Получи ответ от меня на вебинаре лично!
Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Приходи на бесплатный вебинар:
"7 шагов скоростной подготовки к ЕГЭ по математике.
Задачи по стереометрии"
в понедельник 22го января в 18:50

Зарегистрироваться на вебинар. Заходи!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.