Решение задания 17, вариант 30, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в стуки, а номер «люкс» – 5000 рублей в стуки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Пусть $x$ -число стандартных номеров площадью 30 кв. м и
$y$ — число люкс номеров площадью 40 кв. м.
У нас есть ограничение, что $x*30 + y*40 \le 940$ . На плоскости $(X,Y)$ это треугольник ниже линии $x*30 + y*40 = 940$ ,

она же $y=-\frac34x+23.5$ .

Функция прибыли, которую будут приносить эти номера, равна:

$F(x,y)=5000*y+4000*x=1000*(5y+4x)$

Выразим $y$ через $x$ :

$y= -\frac45x+\frac{F}{1000}$

Видно, что нам нужен правый нижний край треугольника, так угол наклона $-\frac34$ идет более полого, чем угол наклона $-\frac45$

Рассмотрим его подробнее.

Надо подставить целочисленные точки, указанные на рисунке, в формулу прибыли и подсчитать, в какой точке будет максимум. Он окажется в точке $(x=30, y=1)$ , что видно из рисунка. Тогда используются все 940 кв. метров, а прибыль равна $F(x=30,y=1)=1000*(5*1+4*30)=125000$ руб

Можно сделать чуть по-другому:

Выразим $x$ через $y$ и $y$ через $x$ на линии ограничения:

$x(y)= (94-4y)/3$

$y(x)= (94-3x)/4$

Подставим в функцию прибыли, чтобы показать ее зависимость только от одной из переменных:

$F(x,y(x))=1000*(5y+4x)=1000*( 5(94-3x)/4+4x )=1000*( \frac{1}{4}x + \frac{235}{2})$

$F(x(y),y)=1000*(5y+4x)=1000*( 5y+4(94-4y)/3 )=1000*(-\frac{1}{3}y + \frac{376}{3} )$

Отсюда хорошо видно, F(x,y) будет максимальна, когда $x$ максимален, а $y$ — минимален в рамках нашего ограничения (треугольника). Максимальный целый $x=31$ , тогда $y=0$ , и у нас остается еще 10 неиспользованных квадратных метров и прибыль будет $1000*(5*0+4*31)=124$ тыс руб. Поэтому возьмем $x=30$ , тогда $y=1$ , используются все 940 кв. метров, а прибыль равна
$F(x=30,y=1)=1000*(5*1+4*30)=125000$ руб

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru