Решение задания 16, вариант 11, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
a) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
b) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

Решение похоже на вариант 10.
Точки K и M — середины AB и AC соответственно, т.к. внутренняя окружность проходит через центр внешней и т.к. \vartriangle AKO \sim \vartriangle ABD по двум углам (\angle{AKO}= \angle{ABD}=90^{\circ}).
\Rightarrow  KM \parallel BC как средняя линия.
Т.к. KM \parallel BC, то дуги PK и PM равны (т.к. KM \parallel BC , то \angle{BPK}=\angle{PKM} как внутренние накрест лежащие).
Т.к. дуги равны, то AP — биссектриса угла CAB, обозначим его за 2\alpha.

Т.к. AP — биссектриса, то \frac{AM}{AK}=\frac{ML}{LK}

Обозначим ML=x, LK=k*x, AM=y, AK=k*y — по свойству биссектрисы.
Заметим, что AL*LP=ML*LK — по свойству хорд.
Также вспомним формулу длины биссектрисы — AL^2=AM*AK-ML*LK. Обозначим AL=l.
Итак, хорды:

    \[l^2=kx^2\]

и формула длины биссектрисы:

    \[l^2=ky^2-kx^2\]

.
Получаем

    \[kx^2=ky^2-kx^2\]

    \[y^2=2x^2\]

Запишем теорему синусов для \vartriangle KMA:

    \[\frac{KM}{\sin2\alpha}=\frac{BC/2}{\sin2\alpha}=\frac{(k+1)x}{\sin2\alpha}=\frac{8}{\sin2\alpha}=2r=10\]

    \[\sin2\alpha=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\]

    \[\cos2\alpha=\frac{3}{5}\]

Напишем теорему косинусов для \vartriangle KMA:

    \[KM^2=MA^2+KA^2-2*MA*KA*\cos2\alpha\]

    \[((k+1)*x)^2=(y)^2+(ky)^2-2*y*ky*\cos2\alpha\]

    \[(k+1)^2(x)^2=(y)^2 [1+k^2-2*k*\cos2\alpha]\]

Подставим y^2=2x^2 и значение \cos:

    \[(k+1)^2(x)^2=2(x)^2 [1+k^2-2*k*\frac35]\]

    \[(k+1)^2=2 [1+k^2-2*k*\frac35]\]

Это квадратное уравнение относительно k, решаем его:

    \[\left\{ k_1 = \frac{-4 \; \sqrt{6} + 11}{5}, k_2 = \frac{4 \; \sqrt{6} + 11}{5} \right\}\]

    \[x=\frac{KM}{k+1}=\frac{8*5}{\pm4 \sqrt{6} + 16}\]

    \[l^2=kx^2= \frac{8*8*5(\pm4 \sqrt{6} + 11)}{(\pm4 \sqrt{6} + 16)^2}=\frac{8*8*5(\pm4 \sqrt{6} + 11)}{16*6 \pm2*16*4\sqrt{6}+256}=\]

    \[=\frac{8*8*5(\pm4 \sqrt{6} + 11)}{352 \pm128\sqrt{6}}=\frac{8*8*5(\pm4 \sqrt{6} + 11)}{32(11 \pm4\sqrt{6})}=10\]

    \[l=\sqrt{10}\]


Не очень понятно как решено задание? Получи ответ от меня на вебинаре лично!
Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Приходи на бесплатный вебинар:
"7 шагов скоростной подготовки к ЕГЭ по математике.
Задачи по стереометрии"
в понедельник 22го января в 18:50

Зарегистрироваться на вебинар. Заходи!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.