Реальный ЕГЭ 29 мая 2019, задание 14 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно 7. На ребрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причем $DN:NC=SK:KC=1:5$ . Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $SA$ .
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BC$
b) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$

Решение.
Проведем $KE \parallel SA$ в плоскости $(ASC)$
Так как $SK:KC=1:5$ , то $AE:EC=1:5$ по т. о пропорциональных отрезках.
Но так как $DN:NC=1:5$ , то $\Delta ACD$ подобен $\Delta ECN$ по двум сторонам и углу $C \Rightarrow EN \parallel AD$
Плоскость $ENK$ содержит в себе прямую $KN$ и прямую $KE\parallel SA \Rightarrow (ENK)\parallel SA$ и тогда из условия следует, что $(ENK)$ и есть $\alpha$ .
Плоскость $ENK$ содержит в себе прямую $EN \parallel AD$
Так как $AD \parallel BC$ (в основании пирамиды — квадрат), то $EN \parallel BC$
По признаку параллельности прямой и плоскости получаем $BC \parallel (ENK)$ , т.е. $BC \parallel \alpha$

Часть 2.
Введем систему координат с центром в т.N, ось X = NC, ось Y = NE, ось Z — вверх.
Координаты точек $N(0;0;0); C(5;0;0); F(0;6;0); E(0;5;0)$
IO=2.
$SO=\sqrt{7^2-(\frac{6\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{49-9*2}=\sqrt{31}$
Найдем координаты точек K и P(проекции K вниз)
Так как $SK:KC=1:5$ , то $OP:PC=1:5$ , координаты точки $P(2+\frac{OP}{\sqrt{2}}; 3-\frac{OP}{\sqrt{2}}; 0)$
Т.к. $OP=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , то $P(2+\frac{1}{2}; 3-\frac{1}{2}; 0)=(2.5;2.5;0)$
Высота точки K есть $\frac56$ от высоты точки S
Итого координаты точки $K(2.5;2.5;\frac56\sqrt{31})$
Найдем уравнение плоскости (EKN).
В общее уравнение $Ax+By+Cz+D=0$ подставляем точки E, N, K
$N(0;0;0): A*0+B*0+C*0+D=0 \Rightarrow D=0$
$E(0;5;0): A*0+B*5+C*0+0=0 \Rightarrow B=0$
$K(2.5;2.5;\frac56\sqrt{31}): A*2.5+C*\frac56\sqrt{31}=0 \Rightarrow 3A+\sqrt{31}C=0$
$\Rightarrow A=\sqrt{31}; C=-3$
Уравнение плоскости $(EKN): \sqrt{31}x-3z=0$
Подставляем в формулу для расстояния между точкой и плоскостью точку C(5;0;0):

$\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{\sqrt{31}*5-3*0}{\sqrt{31+9}}=5\frac{\sqrt{31}}{\sqrt{40}}$

Второе решение:
Найдем длину KQ из треугольника KPQ: $KQ^2=KP^2+QP^2$

$KQ^2=(\frac56\sqrt{31})^2+(\frac52)^2=\frac{25*31}{36}+\frac{25}{4}=\frac{25*31}{36}+\frac{25*9}{36}= \frac{25}{36}(31+9)=$

$KQ=\frac56\sqrt{40}$

Из площади треугольника KPQ:

$\frac12*h(P)*KQ=\frac12*KP*PQ$

$h(P)*\frac56 \sqrt{40} = \frac56 \sqrt{31}*\frac52$

$h(P)=\frac{5\sqrt{31}}{2\sqrt{40}}$

Т.к. P есть середина отрезка CE, то расстояние от С до плоскости $\alpha$ в два раза больше расстояния от P до плоскости $\alpha$ , то
Ответ: $h(C)=\frac{5\sqrt{31}}{\sqrt{40}}$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru