Реальный ЕГЭ 29 мая 2019, задание 14

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:5. Плоскость \alpha содержит прямую KN и параллельна прямой SA.
a) Докажите, что плоскость \alpha параллельна прямой BC
b) Найдите расстояние от точки C до плоскости \alpha

Решение.
Проведем KE \parallel SA в плоскости (ASC)
Так как SK:KC=1:5, то AE:EC=1:5 по т. о пропорциональных отрезках.
Но так как DN:NC=1:5, то \Delta ACD подобен \Delta ECN по двум сторонам и углу C \Rightarrow EN \parallel AD
Плоскость ENK содержит в себе прямую KN и прямую KE\parallel SA \Rightarrow (ENK)\parallel SA и тогда из условия следует, что (ENK) и есть \alpha.
Плоскость ENK содержит в себе прямую EN \parallel AD
Так как AD \parallel BC (в основании пирамиды — квадрат), то EN \parallel BC
По признаку параллельности прямой и плоскости получаем BC \parallel (ENK), т.е. BC \parallel \alpha

Часть 2.
Введем систему координат с центром в т.N, ось X = NC, ось Y = NE, ось Z — вверх.
Координаты точек N(0;0;0); C(5;0;0); F(0;6;0); E(0;5;0)
IO=2.
SO=\sqrt{7^2-(\frac{6\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{49-9*2}=\sqrt{31}
Найдем координаты точек K и P(проекции K вниз)
Так как SK:KC=1:5, то OP:PC=1:5, координаты точки P(2+\frac{OP}{\sqrt{2}}; 3-\frac{OP}{\sqrt{2}}; 0)
Т.к. OP=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{1}{\sqrt{2}} , то P(2+\frac{1}{2}; 3-\frac{1}{2}; 0)=(2.5;2.5;0)
Высота точки K есть \frac56 от высоты точки S
Итого координаты точки K(2.5;2.5;\frac56\sqrt{31})
Найдем уравнение плоскости (EKN).
В общее уравнение Ax+By+Cz+D=0 подставляем точки E, N, K
N(0;0;0): A*0+B*0+C*0+D=0 \Rightarrow D=0
E(0;5;0): A*0+B*5+C*0+0=0 \Rightarrow B=0
K(2.5;2.5;\frac56\sqrt{31}): A*2.5+C*\frac56\sqrt{31}=0 \Rightarrow 3A+\sqrt{31}C=0
\Rightarrow A=\sqrt{31}; C=-3
Уравнение плоскости (EKN): \sqrt{31}x-3z=0
Подставляем в формулу для расстояния между точкой и плоскостью точку C(5;0;0):

    \[\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{\sqrt{31}*5-3*0}{\sqrt{31+9}}=5\frac{\sqrt{31}}{\sqrt{40}}\]

 
Второе решение:
Найдем длину KQ из треугольника KBQ: KQ^2=KP^2+QP^2

    \[KQ^2=(\frac56\sqrt{31})^2+(\frac52)^2=\frac{25*31}{36}+\frac{25}{4}=\frac{25*31}{36}+\frac{25*9}{36}= \frac{25}{36}(31+9)=\]

    \[KQ=\frac56\sqrt{40}\]

Из площади треугольника KPQ:

    \[\frac12*h(P)*KQ=\frac12*KP*PQ\]

    \[h(P)*\frac56 \sqrt{40} = \frac56 \sqrt{31}*\frac52\]

    \[h(P)=\frac{5\sqrt{31}}{2\sqrt{40}}\]

Т.к. P есть середина отрезка CE, то расстояние от С до плоскости \alpha в два раза больше расстояния от P до плоскости \alpha, то
Ответ: h(C)=\frac{5\sqrt{31}}{\sqrt{40}}

 

 

 

 

 

 

 

 



Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Приходи на бесплатный вебинар
по разбору задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.