Решение задания 18, вариант 30, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018 — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Найдите все значения $b$ , при каждом из которых уравнение

$\frac{\sin{x}-b\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}=\frac{1}{b+2}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]$ .

Заметим, что на отрезке $[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]$ функция $\sin{x}+\cos{x} >0$ , т.е. точно $\ne 0$ . Заметим также, что отсюда сразу следует, что $b \ne -2$ , т.к. если бы оно равнялось $-2$ , то справа у нас была бы бесконечность, но слева — конечное число. Итак, $b = -2$ нам не подходит.

$\sin{x}+\cos{x} = (b+2)(\sin{x}-b\cos{x})$

$(b+2)\sin{x} -\sin{x} -b^2\cos{x}-2b\cos{x}-\cos{x}=0$

$(b+1)\sin{x}-(b^2+2b+1)\cos{x}=0$

$(b+1)\sin{x}-(b+1)^2\cos{x}=0$

$(b+1)*\left(\sin{x}-(b+1)\cos{x} \right)=0$

Или $b=-1$ , или $\sin{x}-(b+1)\cos{x} =0$
Случай $b=-1$ нам подходит, т.к. подставим $b=-1$ в исходное уравнение, получим тождество:

$\frac{\sin{x}-(-1)\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}=\frac{1}{-1+2}$

Рассмотрим второй случай

$\sin{x}-(b+1)\cos{x} =0$

$\sin{x}=(b+1)\cos{x}$

$tg{x}=b+1$

Так как мы живем на отрезке $x \in[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]$ , то тангенсы этих углов $\ge 1$ , поэтому

$tg{x}=b+1 \ge 1$

$b\ge 0$

Ответ: $b=-1 \cup b\ge 0$

Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

2 комментария к “Решение задания 18, вариант 30, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018”

Очень понятно ?

очень простое и интересное решение

Комментарии закрыты.