Решение задания 14, вариант 1, Ященко 36 вариантов (профиль), ЕГЭ-2018. Ответ.

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке https://ggbm.at/p7evdhgk

Прямая PQ параллельна прямой AB, значит прямая PQ параллельна плоскости SAB (т.16.3 Погорелова, стр 241, признак параллельности прямой и плоскости). Плоскость PMQ должна пересечь плоскость SAB по некоторой прямой MN, которая должна быть построена как параллельная PQ. Почему? Потому что: 1) точки P,Q,M,N лежат в одной плоскости сечения, 2) т.к. прямая PQ параллельна плоскости SAB, то не имеет с ней общих точек. Значит прямые PQ и MN не имеют общих точек, и при этом лежат в одной плоскости (сечения). Как называются такие прямые? Параллельные!

Таким образом PQMN — трапеция. Докажем, что она равнобедренная.

Т.к. (по предыдущим рассуждениям), то, по теореме о пропорциональных отрезках
Т.к.
Т.к. P и Q — середины сторон квадрата, то .
Треугольники MAQ и NBP равны, т.к. , и (пирамида правильная и и у нее боковые грани — равные треугольники), поэтому MQ = NP,и трапеция MNPQ равнобедренная.

Пусть объём пирамиды SABCD равен . Пятигранник AMQBNP состоит из четырёхугольной пирамиды MABPQ с основанием ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP.

Расстояние от точки М до плоскости BNP относится к расстоянию от точки A до этой плоскости как : , а расстояния от точек M и N до плоскости BNP пропорциональны длинам MN и AB, т.к. , а эти расстояния есть длины перпендикуляров при наклонных MN и AB, которые наклонены к плоскости BNP под одним и тем же углом. Площади треугольников BNP и SBC относятся как . Значит, отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC равно , то есть объём пирамиды MBNP равен .

Площадь прямоугольника ABPQ составляет половину площади квадрата ABCD. Расстояние от точки М до плоскости ABCD относится к расстоянию от точки S до этой плоскости как 1: 6, поэтому объём пирамиды MABPQ равен .

Таким образом, объём AMQBNP равен то есть отношение объёмов многогранников AMQBNP и CDSNPQM равно 17 : 127.

Ответ: .