Решение задания 18, вариант 33, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

    \[||x+2a| -3a | + ||3x-a|+4a| \le 7x+24\]

выполняется для всех значений x \in [0;7].

Перепишем

    \[||x+2a| -3a | + ||3x-a|+4a| - 7x \le 24\]

Заметим, что слева — убывающая по x функция, как бы ни раскрывались модули. Значит максимум у нее в левом конце отрезка x \in [0;7]. Значит, чтобы для всех x из отрезка выполнялось неравенство, нужно, чтобы оно выполнялось на левом конце отрезка. Подставим x=0:

    \[||0+2a| -3a | + ||3*0-a|+4a| - 7*0 \le 24\]

    \[||2a| -3a | + ||a|+4a| \le 24\]

Рассмотрим случай a \ge 0:

    \[|2a -3a | + |a+4a| \le 24\]

    \[|-a | + |5a| \le 24\]

    \[|a | + |5a| \le 24\]

    \[a  + 5a = 6a \le 24\]

    \[a \le 4\]

Рассмотрим случай a < 0:

    \[|-2a -3a | + |-a+4a| \le 24\]

    \[|-5a | + |3a| \le 24\]

    \[|5a | + |3a| \le 24\]

    \[-5a  -3a = -8a \le 24\]

    \[a \ge -3\]

Ответ: a \in [-3;4]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.