Решение задания 18, вариант 30, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение

    \[\frac{\sin{x}-b\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}=\frac{1}{b+2}\]

имеет хотя бы одно решение на отрезке [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}].

Заметим, что на отрезке [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}] функция \sin{x}+\cos{x} >0, т.е. точно \ne 0. Заметим также, что отсюда сразу следует, что b \ne -2, т.к. если бы оно равнялось -2, то справа у нас была бы бесконечность, но слева — конечное число. Итак, b = -2 нам не подходит.

    \[\sin{x}+\cos{x} = (b+2)(\sin{x}-b\cos{x})\]

    \[(b+2)\sin{x} -\sin{x} -b^2\cos{x}-2b\cos{x}-\cos{x}=0\]

    \[(b+1)\sin{x}-(b^2+2b+1)\cos{x}=0\]

    \[(b+1)\sin{x}-(b+1)^2\cos{x}=0\]

    \[(b+1)*\left(\sin{x}-(b+1)\cos{x} \right)=0\]

Или b=-1, или \sin{x}-(b+1)\cos{x} =0
Случай b=-1 нам подходит, т.к. подставим b=-1 в исходное уравнение, получим тождество:

    \[\frac{\sin{x}-(-1)\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}=\frac{1}{-1+2}\]

Рассмотрим второй случай

    \[\sin{x}-(b+1)\cos{x} =0\]

    \[\sin{x}=(b+1)\cos{x}\]

    \[tg{x}=b+1\]

Так как мы живем на отрезке x \in[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}], то тангенсы этих углов \ge 1, поэтому

    \[tg{x}=b+1 \ge 1\]

    \[b\ge 0\]

Ответ: b=-1 \cup b\ge 0

2 комментария к “Решение задания 18, вариант 30, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018”

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.