Решение задания 18, вариант 29, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x^{10}+(a-2x)^5+x^2+a=2x
имеет хотя бы один корень.

Перепишем уравнение в виде (x^2)^5+x^2=(2x-a)^5 +(2x-a)
Заметим, что слева стоит четная функция, симметричная относительно оси Y, а справа — нечетная, симметричная относительно точки (0,0).
Как они могут совпадать?
Заметим также, что слева первое слагаемое является 5й степенью второго, и справа — тоже самое.
Они могут совпадать, только если совпадают слагаемые x^2 и (2x-a).
Хотя бы один корень уравнение x^2=(2x-a) или x^2-2x+a=0 будет иметь, если его дискриминант \ge 0:

    \[D=4-4a \ge 0\]

    \[4 \ge 4a\]

    \[a \le 1\]

Ответ: a \le 1

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.