Решение задания 18, вариант 25, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых неравенство

    \[3x^5 +11x +4|x-a+3|+2|3x+a-5|+\sqrt[3]{4x+5} \le 25\]

выполняется для всех значений x \in [-4;-1].

Заметим, что слева — возрастающая по x функция, как бы ни раскрывались модули. Значит, максимум у нее в правом конце отрезка x \in [-4;-1]. Значит, чтобы для всех x из отрезка выполнялось неравенство, нужно, чтобы оно выполнялось на правом конце отрезка. Подставим x=-1:

    \[-3-11+4|-a+2|+2|a-8|+1 \le 25\]

    \[4|2-a|+2|a-8|\le 24+14=38\]

    \[4|a-2|+2|a-8|\le 38\]

Рассмотрим три интервала, на которых раскроем модули: (-\infty;2), (2;8), (8;+\infty).
и заодно построим график функции 4|a-2|+2|a-8|:

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { 4(a-2)+2(a-8) \le 38 } \\{a \ge 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { 4(a-2)-2(a-8) \le 38 } \\{ 2 \le a < 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { -4(a-2)-2(a-8) \le 38 } \\{a < 2} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { 6a- 24 \le 38 } \\{a \ge 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { 2a +8  \le 38 } \\{ 2 \le a < 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { -6a +24 \le 38  } \\{a < 2} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { 6a \le 62} \\{a \ge 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { 2a  \le 30} \\{ 2 \le a < 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { -6a  \le 14} \\{a < 2} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { a \le \frac{31}{3}} \\{a \ge 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { a  \le 15} \\{ 2 \le a < 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { a  \ge -\frac{7}{3}} \\{a < 2} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} { a \in [8;  \frac{31}{3}] } \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { 2 \le a < 8} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { a \in [-\frac{7}{3};2)} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Ответ: a \in [-\frac{7}{3};\frac{31}{3}]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.