Решение задания 18, вариант 16, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений

    \[\begin{Bmatrix} {|x^2-1|+2x-x^2=|y^2-1|+2y-y^2} \\{x+y=a} \end{matrix}\]

имеет более двух решений.

Раскроем модуль:

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {(x^2-1)+2x-x^2=(y^2-1)+2y-y^2} \\{x^2-1 \ge 0} \\{y^2-1 \ge 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {-(x^2-1)+2x-x^2=(y^2-1)+2y-y^2} \\{x^2-1 < 0} \\{y^2-1 \ge 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {(x^2-1)+2x-x^2=-(y^2-1)+2y-y^2} \\{x^2-1 \ge 0} \\{y^2-1 < 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {-(x^2-1)+2x-x^2=-(y^2-1)+2y-y^2} \\{x^2-1 < 0} \\{y^2-1 < 0} \\{x+y=a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {y = x} \\{x^2-1 \ge 0} \\{y^2-1 \ge 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {y=-x^{2} + x + 1 } \\{x^2-1 < 0} \\{y^2-1 \ge 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x  = - y^{2} +  y + 1} \\{x^2-1 \ge 0} \\{y^2-1 < 0} \\{x+y=a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { -x^{2} +  x  = - y^{2} +  y  } \\{x^2-1 < 0} \\{y^2-1 < 0} \\{x+y=a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix} { \begin{Bmatrix} {y = x} \\{x \in (-\infty; -1]\cup[1;+\infty)} \\{y \in (-\infty; -1]\cup[1;+\infty)} \\{y=-x+a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {y=-x^{2} + x + 1 } \\{-1< x < 1} \\{y \in (-\infty; -1]\cup[1;+\infty)} \\{y=-x+a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} {x  = - y^{2} +  y + 1} \\{x \in (-\infty; -1]\cup[1;+\infty)} \\{-1< y < 1} \\{y=-x+a} \end{matrix} }\\{ \begin{Bmatrix} { (y-x)(y+x-1)=0} \\{-1< x < 1} \\{-1< y < 1} \\{y=-x+a} \end{matrix} } \end{matrix}\]

Ответ: a \in [1;2).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.