Решение задания 16, вариант 10, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2017

Основные идеи:
Точки A и B — середины KM и KN соответственно, т.к. внутренняя окружность проходит через центр внешней и т.к. \vartriangle KAO \sim \vartriangle KMD по двум углам (\angle{KAO}= \angle{KMD}=90^{\circ}).
\Rightarrow  AB \parallel MN как средняя линия.
Т.к. AB \parallel MN, то дуги BC и AC равны (т.к. AB \parallel MN , то \angle{BAC}=\angle{ACM}, а \angle{ACM} опирается на дугу AC и поэтому равен = \angle{ABC}),
т.е. \angle{ABC}=\angle{BAC} и дуги BC и AC равны.
Т.к. дуги равны, то KC — биссектриса угла BKA, обозначим его за 2\alpha, а \angle KBA— за \gamma, \angle KAB— за\beta.
Т.к. KC — биссектриса, то \frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}=\frac{KN}{KM}
Т.к. AB — средняя линия, то \vartriangle KBA \sim \vartriangle KNM с коэффициентом 1/2.
Поэтому \frac{KB}{KA}=\frac{KN}{KM}=\frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}
и по свойству биссектрисы \frac{KB}{KA}=\frac{BL}{LA}=\frac{KN}{KM}=\frac{NC}{MC}=\frac{2}{3}
Обозначим BL=2x, LA=3x, KB=2y, KA=3y
Найдем соотношения между \alpha,\beta,\gamma, x, y, которые приведут нас в итоге к нахождению \alpha и ответу в задаче.
Заметим, что KL*LC=BL*LA — по свойству хорд.
Также вспомним формулу длины биссектрисы — KL^2=KB*KA-BL*LA. Обозначим KL=l.
Итак, l^2=2x*3x (хорды) и l^2=2y*3y-2x*3x (длина биссектрисы).
Получаем 6x^2=6y^2-6x^2,  y^2=2x^2, y=x*\sqrt{2},  \frac{y}{x}=\sqrt{2}.
Теперь запишем теоремы синусов и косинусов.
\frac{5x}{sin{2\alpha}}=\frac{2y}{sin\beta}=\frac{3y}{sin\gamma}
sin\gamma=\frac{3}{5}sin2\alpha*\frac{y}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{5}sin2\alpha
sin\beta=\frac23sin\gamma.
AB^2=KB^2+KA^2-2*KB*KA*cos2\alpha
Т.к. \frac{KB}{sin\beta}=\frac{AB}{sin2\alpha}=\frac{KA}{sin\gamma}=2r, где r— радиус меньшей окружности, то
(2r*sin2\alpha)^2=(2r*sin\beta)^2+(2r*sin\gamma)^2-(2r*sin\beta)*(2r*sin\gamma)*cos2\alpha,
откуда, сокращая на 4r^2,
(sin2\alpha)^2=(sin\beta)^2+(sin\gamma)^2-sin\beta*sin\gamma*cos2\alpha,
и подставляя найденные выше связи между углами, получаем
(sin2\alpha)^2=(\frac23sin\gamma)^2+(sin\gamma)^2-\frac23sin\gamma*sin\gamma*cos2\alpha,
(sin2\alpha)^2=(sin\gamma)^2*( (\frac23)^2+1-\frac23*cos2\alpha),
(sin2\alpha)^2=(\frac{3\sqrt{2}}{5}sin2\alpha)^2*( (\frac49+1-\frac23*cos2\alpha),
1=(\frac{3\sqrt{2}}{5})^2*( (\frac{13}{9}-\frac23*cos2\alpha),
cos2\alpha=\frac{1}{24} — фундаментальный результат, мы нашли угол 2\alpha!
Дальше легко:
\frac{MN}{sin2\alpha}=2R=2*2r=4r=4\sqrt{23}
MN=4\sqrt{23}*sin{2\alpha}
Найдем sin из cos: sin^2{2\alpha}=1-(\frac{1}{24})^2=\frac{575}{576}
sin{2\alpha}=\frac{5\sqrt{23}}{24}
MN=4\sqrt{23}*sin{2\alpha}=4\sqrt{23}*\frac{5\sqrt{23}}{24}=\frac{5*23}{6}=\frac{115}{6}



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *