Решение задания 14, вариант 4, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 14.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 6:1. Найдите площадь сечения MNB.
Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке https://ggbm.at/UB5t3Mue

Треугольники ABD, BCD, ACD имеют углы D=90 градусов, т.е. это прямоугольные треугольники.
Обозначим за x,y,z стороны ребра DA, DB, DC, напишем теорему Пифагора:

    \[x^2+y^2=196\]

    \[x^2+z^2=196\]

    \[y^2+z^2=196\]

Вычитая из 2го 1е, получим y=z, из 3го — 2е, что x=y, т.е.

    \[x=y=z=\frac{14}{\sqrt{2}}=DA=DB=DC=7\sqrt{2}\]

, длины наклонных одинаковы, значит длины проекций тоже одинаковы и проекция точки D попадает в центр правильного тр. ABC, и пирамида — правильная.

    \[MN=\frac67AC=12\]

    \[BG=\frac{20}{21}BF\]

    \[EG=\frac17DO\]

    \[BE^2=(\frac{20}{21}BF)^2+(\frac17DO)^2\]

    \[BF=14*\frac{\sqrt3}{2}=7\sqrt{3}\]

    \[DO^2=(7\sqrt{2})^2-(\frac23BF)^2=49*2-\frac{4*49}{3}\]

    \[DO=7\sqrt{\frac23}\]

    \[BE^2=\frac{400}{3}+\frac23=\frac{402}{3}=134\]

    \[BE=\sqrt{134}\]

    \[S=\frac12BE*NM=\frac12*\sqrt{134}*12=6\sqrt{134}\]

Второе решение:

    \[BE^2=BN^2-NE^2=BD^2+DN^2-NE^2\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.