Решение задания 14, вариант 13, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = \sqrt{21}, SB = \sqrt{85}, SD = \sqrt{57}.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Решение похоже на вариант 9

Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке https://ggbm.at/mhnFhTG5

Чтобы найти угол между прямыми SC и BD, проведем прямую EF — среднюю линию в треугольнике ASC, EF||SC
Тогда искомый угол — \angle FEB
Его можно найти по теореме косинусов из треугольника FEB.

    \[EB=\frac12 BD=\frac12 \sqrt{6^2+8^2}=5\]

    \[FE^2=FA^2+AE^2=(\frac{\sqrt{21}}{2})^2+5^2=\frac{21}{4}+25=\frac{121}{4}\]

    \[FE=\frac{11}{2}\]

    \[FB^2=8^2+(\frac{\sqrt{21}}{2})^2=64+\frac{21}{4}=\frac{277}{4}\]

Пишем теорему косинусов:

    \[FB^2=\frac{277}{4}=FE^2+EB^2-2*FE*EB*\cos \angle FEB= \frac{121}{4} +25- 2*\frac{11}{2}*5*\cos \angle FEB\]

    \[\frac{277-121-100}{4}=14=- 55*\cos \angle FEB\]

    \[\cos \angle FEB = -\frac{14}{55}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.