Решение задания 14, вариант 1, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке https://ggbm.at/p7evdhgk

Прямая PQ параллельна прямой AB, значит прямая PQ параллельна плоскости SAB (т.16.3 Погорелова, стр 241). Плоскость PMQ должна пересечь плоскость SAB по некоторой прямой MN, которая должна быть построена как параллельная PQ. Почему? Потому что: 1) точки P,Q,M,N лежат в одной плоскости сечения, 2) т.к. прямая PQ параллельна плоскости SAB, то не имеет с ней общих точек. Значит прямые PQ и MN не имеют общих точек, и при этом лежат в одной плоскости. Как называются такие прямые? Параллельные!

Пусть N — такая точка на ребре SB, что SN:NB = 5:1. Треугольники SAB и SMN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, => AB || MN . Но PQ || AB, => MN || PQ , значит точки M,N,P,Q — лежат в одной плоскости и поэтому сечение пирамиды плоскостью MPQ — это трапеция MNPQ.
Треугольники MAQ и NBP равны, т.к. MA = NB, QA = PB, и \angle MAQ=\angle NBP , поэтому MQ = NP,и трапеция MNPQ равнобедренная.

Пусть объём пирамиды SABCD равен V. Пятигранник AMQBNP состоит из четырёхугольной пирамиды MABPQ с основанием ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP.

Расстояние от точки М до плоскости BNP относится к расстоянию от точки A до этой плоскости как 5:6: MN=\frac56AB, а расстояния от точек M и N до плоскости BNP пропорциональны длинам MN и AB, т.к. MN||AB, а эти расстояния есть длины перпендикуляров при наклонных MN и AB, которые наклонены к плоскости BNP под одним и тем же углом. Площади треугольников BNP и SBC относятся как 1:12. Значит, отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC равно 5:72, то есть объём пирамиды MBNP равен \frac{5V}{144} .

Площадь прямоугольника ABPQ составляет половину площади квадрата ABCD. Расстояние от точки М до плоскости ABCD относится к расстоянию от точки S до этой плоскости как 1: 6, поэтому объём пирамиды MABPQ равен \frac{V}{12}.

Таким образом, объём AMQBNP равен то есть отношение объёмов многогранников AMQBNP и CDSNPQM равно 17 : 127.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.