Решение задания 14, вариант 1, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке https://ggbm.at/p7evdhgk

Пусть N — такая точка на ребре SB, что SN:NB = 5:1. Треугольники SAB и SMN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, => AB || MN . Но PQ || AB, => MN || PQ , значит точки M,N,P,Q — лежат в одной плоскости и поэтому сечение пирамиды плоскостью MPQ — это трапеция MNPQ.
Треугольники MAQ и NBP равны, т.к. MA = NB, QA = PB, и \angle MAQ=\angle NBP , поэтому MQ = NP,и трапеция MNPQ равнобедренная.

Пусть объём пирамиды SABCD равен V. Пятигранник AMQBNP состоит из четырёхугольной пирамиды MABPQ с основанием ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP.

Расстояние от точки М до плоскости BNP относится к расстоянию от точки A до этой плоскости как 5:6: MN=\frac56AB, а расстояния от точек M и N до плоскости BNP пропорциональны длинам MN и AB, т.к. MN||AB, а эти расстояния есть длины перпендикуляров при наклонных MN и AB, которые наклонены к плоскости BNP под одним и тем же углом. Площади треугольников BNP и SBC относятся как 1:12. Значит, отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC равно 5:72, то есть объём пирамиды MBNP равен \frac{5V}{144} .

Площадь прямоугольника ABPQ составляет половину площади квадрата ABCD. Расстояние от точки М до плоскости ABCD относится к расстоянию от точки S до этой плоскости как 1: 6, поэтому объём пирамиды MABPQ равен \frac{V}{12}.

Таким образом, объём AMQBNP равен то есть отношение объёмов многогранников AMQBNP и CDSNPQM равно 17 : 127.


Не очень понятно как решено задание? Получи ответ от меня на вебинаре лично!
Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Приходи на бесплатный вебинар:
"7 шагов скоростной подготовки к ЕГЭ по математике.
Задачи по стереометрии"
в понедельник 22го января в 18:50

Зарегистрироваться на вебинар. Заходи!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.