Теория вероятностей

Отличная книжка — Вентцель

Основные теоремы 3.1

Теорема сложения 3.2

Теорема умножения 3.3

Формула полной вероятности 3.4

 

Примеры.

Пусть по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события:

A_1 — попадание при первом выстреле,

\overline{A_1} — промах при первом выстреле,

A_2 — попадание при втором выстреле,

\overline{A_2}— промах при втором выстреле,

A_3 — попадание при третьем выстреле,

\overline{A_3} — промах при третьем выстреле.

Рассмотрим более сложное событие, состоящее в том, что в результате данных трех выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий:

    \[B=A_1 \overline A_2 \overline A_3 + \overline A_1 A_2 \overline A_3 + \overline A_1 \overline A_2 A_3\]

Событие , состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде:

    \[C=A_1 A_2 \overline A_3 + A_1 A_2 \overline A_3 + A_1 \overline A_2 A_3 + A_1 A_2 A_3\]

Теорема сложения:

    \[P(A+B) = P(A) + P (B) - P(AB)\]

или

    \[P(AB) = P(A) + P (B) - P(A+B)\]

Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:

    \[P(A+B+C) = P(A) + P (B) + P(C) - P(AB) -P(AC) -P(BC) + P(ABC)\]

Вероятность суммы четырех совместных событий вычисляется по формуле:

    \[P(A+B+C+D) = P(A) + P (B) + P(C) +P(D) -P(AB) -P(AC) -P(AD) -P(BC) -P(BD) -P(CD) +\]

    \[+ P(ABC) +P(ABD) +P(ACD) +P(BCD) - P(ABCD)\]

События называются несовместными, если они не пересекаются, т.е. их пересечение равно нулю, т.е. они НЕ могут произойти одновременно (как не может одновременно выпасть орел и решка, или не может одновременно выпасть единичка и двоечка на кубике, или не может пуля в классической механике одновременно попасть и не попасть в мишень):

    \[AB=0\]

    \[\Rightarrow P(AB)=0\]

Теорема умножения:

    \[P(AB)= P(A)P(B|A) = P(B) P(A|B)\]

где P(A|B) — условная вероятность события A при условии, что событие B произошло.

Если P(B|A)=P(B) , то A и B называют независимыми событиями, т.е. вероятность B не зависит от того, произошло уже A, или нет.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

    \[P(A_1 A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2A_3...A_{n-1})\]

Формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события A, которое может произойти вместе с одним из событий :

    \[H_1, H_2, H_3, ... , H_n\]

,
образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.
Тогда вероятность события A

    \[P(A)=P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3) +...+ P(H_n)P(A|H_n)\]

Действительно, так как гипотезы H_1, H_2, H_3, ... , H_n образуют полную группу, то событие A может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

    \[A=H_1 A + H_2 A + H_3 A + ... +H_n A\]

Так как гипотезы H_1, H_2, H_3, ... , H_n несовместны, то и комбинации H_1 A, H_2 A, H_3 A, ... , H_n A также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

    \[P(A)=P(H_1 A) + P(H_2 A) + P(H_3 A) +...+ P(H_n A)\]

Применяя теорему умножения, получим вышеприведенную формулу для P(A).

Немножко про алгебру логики и принцип двойственности для событий A и B:

    \[\overline{A+B} = \overline{A}*\overline{B}\]

    \[\overline{A*B} = \overline{A}+\overline{B}\]

где «+» обозначает сумму событий (или одно, или другое событие), а «*» обозначает умножение событий (и то , и то событие одновременно).