Отличная книжка — Вентцель или скачать отсюда
Формула полной вероятности 3.4
Примеры.
Пусть по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события:
— попадание при первом выстреле,
— промах при первом выстреле,
— попадание при втором выстреле,
— промах при втором выстреле,
— попадание при третьем выстреле,
— промах при третьем выстреле.
Рассмотрим более сложное событие, состоящее в том, что в результате данных трех выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий:
Событие , состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде:
Теорема сложения:
или
Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:
Вероятность суммы четырех совместных событий вычисляется по формуле:
События называются несовместными, если они не пересекаются, т.е. их пересечение равно нулю, т.е. они НЕ могут произойти одновременно (как не может одновременно выпасть орел и решка, или не может одновременно выпасть единичка и двоечка на кубике, или не может пуля в классической механике одновременно попасть и не попасть в мишень):
Теорема умножения:
где — условная вероятность события при условии, что событие произошло.
Если , то и называют независимыми событиями, т.е. вероятность не зависит от того, произошло уже , или нет.
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий :
,
образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.
Тогда вероятность события
Действительно, так как гипотезы образуют полную группу, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:
Так как гипотезы несовместны, то и комбинации также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:
Применяя теорему умножения, получим вышеприведенную формулу для .
Немножко про алгебру логики и принцип двойственности для событий и :
где «» обозначает сумму событий (или одно, или другое событие), а «» обозначает умножение событий (и то , и то событие одновременно).