Решение задания 18, вариант 4, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

    \[(8x-5) \cdot \ln(x+a) = (8x-5) \cdot \ln(3x-a)\]\]

имеет ровно один корень на отрезке [0;1].

Напишем ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{x+a > 0}\\{3x-a >0 }\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{a>-x}\\{a<3x }\end{matrix}\]

Вынесем (8x-5) за скобку:

    \[(8x-5) \cdot \{ \ln(x+a) - \ln(3x-a) \}=0\]

Получаем первый корень x_1=\frac58, подставляем его в ОДЗ и получаем ограничения на a:

    \[\begin{Bmatrix} {x_1=\frac58}\\ {a>-x_1=-\frac58}\\{a<3x_1=\frac{15}{8} }\end{matrix}\]

Т.е. мы получили корень x_1=\frac58 при -\frac58<a<\frac{15}{8}. При этом этот корень нам подходит — он лежит на отрезке [0;1]. Ищем второй корень:

    \[x+a=3x-a\]

    \[x=a\]

Подставим второй корень x_2=a в ОДЗ, чтобы найти ограничения на a:

    \[\begin{Bmatrix}{a>-x_2}\\{a<3x_2 }\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{a>-a}\\{a<3a }\end{matrix}\]

    \[2a>0\]

    \[a>0\]

Итак, второй корень x_2=a существует при a>0 , соответственно, если мы рассматриваем отрезок [0,1], то второй корень x_2 существует не на всем этом отрезке, а только на его подмножестве (0,1].

Нам нужно, чтобы на отрезке x \in [0,1] корень был единственным.

Нарисуем на плоскости (a,x) наши корни:

Ответ: Только один корень будет при

    \[a \in (-\frac58,0]\cup \{\frac58\} \cup (1,\frac{15}{8})\]

Это будет первый корень x_1=\frac58.
При остальных a, т.е. при a \in (0,\frac58) \cup (\frac58,1] — будут два корня — и x_1=\frac58, и x_2=a.

2 комментария к “Решение задания 18, вариант 4, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018”

  1. Скажите пожалуйста, почему там один корень, когда промежуток принадлежит от [-5/8;0]. Если включить ноль, то получится два корня (сам ноль и 5/8 на оси ОХ)

    1. В точке a=0 у нас только один корень x=5/8, и нет второго корня x=a(и равного нулю), т.к. подставив x=a=0 в исходный уравнение, вы не сможете извлечь логарифм от нуля, т.е. не пройдете проверку по ОДЗ.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.