Решение задания 18, вариант 35, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

    \[||x-2a| +3a | + ||3x+a|-4a| \le 5x+24\]

выполняется для всех значений x \in [0;6].

Перепишем

    \[||x-2a| +3a | + ||3x+a|-4a| - 5x \le 24\]

Заметим, что слева — убывающая по x функция, как бы ни раскрывались модули. Значит максимум у нее в левом конце отрезка x \in [0;6]. Подставим x=0:

    \[||0-2a| +3a | + ||3*0+a|-4a| - 5*0 \le 24\]

    \[||2a| +3a | + ||a|-4a| \le 24\]

Рассмотрим случай a \ge 0:

    \[|2a +3a | + |a-4a| \le 24\]

    \[|5a | + |-3a| \le 24\]

    \[|5a | + |3a| \le 24\]

    \[5a  + 3a = 8a \le 24\]

    \[a \le 3\]

Рассмотрим случай a < 0:

    \[|-2a +3a | + |-a-4a| \le 24\]

    \[|a | + |-5a| \le 24\]

    \[|a | + |5a| \le 24\]

    \[-a  -5a = -6a \le 24\]

    \[a \ge -4\]

Ответ: a \in [-4;3]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.