Решение задания 18, вариант 1, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

    \[\sqrt{5-7x} \cdot \ln(9x^2-a^2) = \sqrt{5-7x} \cdot \ln(3x+a)\]

имеет ровно один корень.

Напишем ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{5-7x \ge 0}\\{3x+a > 0}\\{9x^2-a^2 =(3x-a)(3x+a)>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x \le \frac57}\\{a > -3x}\\{a<3x}\end{matrix}\]

Преобразуем:

    \[\sqrt{5-7x} \cdot \{ \ln(9x^2-a^2) - \ln(3x+a) \} =0\]

    \[\sqrt{5-7x} \cdot \{ \ln[(3x-a)(3x+a)] - \ln(3x+a) \} =0\]

    \[\sqrt{5-7x} \cdot \ln(3x-a) =0\]

Сразу виден первый корень x_1=\frac57, подставляя его в ОДЗ, получаем:

    \[\begin{Bmatrix} {x_1=\frac57}\\ {a > -\frac{15}{7}}\\{a<\frac{15}{7}}\end{matrix}\]

Т.е. при -\frac{15}{7}<a<\frac{15}{7} есть первый корень x_1=\frac57.
Второй корень найдем из условия \ln(3x-a) =0, т.е. 3x-a =1, или x_2=\frac{a+1}{3} Подставляя этот корень x_2=\frac{a+1}{3} в ОДЗ, получаем:

    \[\begin{Bmatrix}{ \frac{a+1}{3} \le \frac57}\\{a > -3\cdot\frac{a+1}{3}}\\{a<3\cdot\frac{a+1}{3}}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ a \le \frac{15}{7}-1=\frac{8}{7}}\\{a > -a-1}\\{a<a+1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ a \le \frac{8}{7}}\\{a > -\frac12}\\{0<1}\end{matrix}\]

Итак, при -\frac12<a\le \frac{8}{7} есть второй корень x_2=\frac{a+1}{3}
Вспомним, что при -\frac{15}{7}<a<\frac{15}{7} есть первый корень x_1=\frac57
Т.е. при -\frac12<a\le \frac{8}{7} есть в итоге два корня одновременно: x_1=\frac57 и x_2=\frac{a+1}{3}
Казалось бы, вот ответ:
Ровно один корень (и равный \frac{a+1}{3}) есть при -\frac{15}{7}<a\le -\frac12 и при \frac{8}{7}<a< \frac{15}{7}
Но! Проверим где эти корни совпадают: x_1=\frac57=x_2=\frac{a+1}{3} \Rightarrow a= \frac87 нужно включить в ответ.

Ответ: ровно один корень есть при -\frac{15}{7}<a\le -\frac12 и при \frac{8}{7}\le a< \frac{15}{7}

Плюс также вы можете посмотреть решение в самой книжке Ященко на стр.207. Нажмите на ссылку.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.